《经济数学基础》线性代数部分疑难解析

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1、《经济数学基础》线性代数部分疑难解析第2章矩阵本章重点：1．了解或理解一些基本概念具体要求如下：(1)了解矩阵和矩阵相等的概念；(2)了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．(3)理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；(4)了解矩阵秩的概念；(5)理解矩阵初等行变换的概念．2．熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．矩阵乘法是本章

2、的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：　　矩阵乘法不满足交换律，即一般不成立（若矩阵A,B满足，则称A,B为可交换的）．　矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵及矩阵，不能推出．但当可逆时，．　　矩阵，可能有．例1若A，B是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（）．A．B．C．若秩秩则秩D．若秩秩则秩解选项A：只是的充分条件，而不是必要条件，故A错误；选项B：，矩阵乘法一般不满足交换律，即，故B错误；选项C：由秩秩说明A，B两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵，如，则．故秩不一定成立，即C错误；选项D：两个满秩矩

3、阵的乘积还是满秩的，故D正确．例2设矩阵，，则AB＝．解因为AB＝=[41]所以，应该填写：[41]例3矩阵的秩是()A.1B.2C.3D.4解因为对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3．正确选项是：C例4设矩阵A=，则矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是．解根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是A的第3行元素与B的第1列元素的乘积之和，即3×2＋（－1）×9＋9×0＝-3应该填写：-3例5设A是m´n矩阵,B是s´n矩阵,则运算有意义的是()．A．B．C．D．解根

4、据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵有意义．正确选项是A．例6设方程XA－B=X，如果A－I可逆，则X=．解由XA－B=X，得XA－X=B，X(A－I)=B故X=B(A－I)－1．所以，应该填写：B(A－I)－1注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成(A－I)－1B，它是错误的．例7．设矩阵，求矩阵A．解因为所以例8已知矩阵，求常数a，b．解因为所以，得b=2．例9．设矩阵A，B满足矩阵方程AX＝B，其中，,求X．解法一：先求矩阵A的逆矩阵

5、．因为所以且解法二：因为所以例10设矩阵试计算A-1B．解因为所以　且　　例11设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．证因为A，B是对称矩阵，即且根据对称矩阵的性质可知，AB＋BA是对称矩阵．例12设是n阶矩阵，若=0，则．证因为===所以第3章线性方程组本章重点：1．了解n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念．2.理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．·线性方程组AX=b的解的情况归纳如下：AX=b有唯一解的充分必要条件是

6、秩()=秩(A)=n；AX=b有无穷多解的充分必要条件是秩()=秩(A)

7、．有唯一解解线性方程组AX=B有唯一解，说明秩故AX=0只有唯一解（零解）．正确的选项是D．例3若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（）时线性方程组有无穷多解．A．1B．4C．2D．解将增广矩阵化为阶梯形矩阵，此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即，从而＝．正确的选项是D．例4若非齐次线性方程组Am×nX=B有唯一解,那么有()．A．秩(A，B)＝nB．秩(A)＝rC．秩(A)＝秩(A，B)D．秩(A)＝秩(A，B)＝n解根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D是正确．例5求

8、解线性方程组解将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即因为，秩(`A)=秩(A)=3，所以，方程组有解．一般解为(x4是自由未知量)例6设线性方程组试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．解因为可见，当c=0时，方程组有解．且所以，原方程组的一般解为（x3是自由未知量）