人教A版高数学导学案教案 第3章 空间向量与立体几何 §3.1.2 空间向量的数乘运算

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1、§3.1.2 空间向量的数乘运算知识点一空间向量的运算已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.(1)化简(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值.解(1)方法一取AA′的中点为E,则又取F为D′C′的一个三等分点(D′F=D′C′),则D′F=∴++=++=方法二取AB的三等分点P使得,取CC′的中点Q,则++=(2)===∴α=,β=,γ=.【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法时可转化为加法,也

2、可按减法进行运算.本题第一问是开放式的表达式,形式不唯一,有多种解法.6如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCD,M分成的比为,N分成的比为,N分成的比为2,设=a,=b,=c,试用a、b、c表示,解==-(a+b)+c+(-c+b)=-a+b+c知识点二共线问题设空间四点O,A,B,P满足其中m+n=1,则()A.点P一定在直线AB上B.点P一定不在直线AB上C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上D.与与的方向一定相同答案 A解析已知m+n=1,则因为≠0.所以和共线,即点A,P,B共线,故选A

3、.【反思感悟】(1)考察点P是否在直线AB上,只需考察与是否共线;(2)解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线.已知A、B、P三点共线,O为空间任意一点,求α+β的值.解∵A、B、P三点共线,由共线向量知,存在实数t,使=t由=,=代入得:;又由已知,∴α=1-t,β=t,∴α+β=1.知识点三共面问题已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)求证:BD∥平面EFGH.证明(1)由已知得EF綊HG,

4、6∴∵,不共线,∴共面且有公共点G,∴E,F,G,H四点共面.(2)∵与不共线,∴,,共面.由于BD不在平面EFGH内,所以BD∥平面EFGH.【反思感悟】利用向量法证明点共面、线共面问题,关键是熟练的进行向量表示,恰当应用向量共面的充要条件,解题过程中注意直线与向量的相互转化. 用向量法证明:空间四边形ABCD的四边中点M,N,P,Q共面.证明△AMQ中,=△CNP中,=所以,所以M,N,P,Q四点共面.课堂小结:1.向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我

5、们说a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义.(2)“共线”这个概念具有自反性a∥a,也具有对称性,即若a∥b,则b∥a.(3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上.=λ或=μ即可.也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t)”来证明三点共线.2.向量共面的充要条件的理解=x+y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式.这个充要条件常用以证明四点共面.(2)共

6、面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式,6即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来,它既是判断三个向量是否共面的依据,又可以把已知共面条件转化为向量式,以便于应用向量这一工具.另外,在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点O,有=(1-t)=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据.课时作业一、选择题1.下列命题中是真命题的是()A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量B.若

7、a

8、=

9、b

10、

11、,则a,b的长度相等而方向相同或相反C.若向量满足

12、

13、>

14、

15、,且与同向,则>D.若两个非零向量与满足+=0,则∥答案D解析A错.因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共面.B错.因为

16、a

17、=

18、b

19、仅表示a与b的模相等,与方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比较,因此也就没有>这种写法.D.对.∵+=0,∴=,∴与共线,故∥,正确.2.满足下列条件,能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A.+=B.-=C.=D.

20、

21、=

22、

23、答案C3.在下列等式中,使点M与点A

24、,B,C一定共面的是()A.=2--B.=++C.++=0D.+++=0答案 C解析若有=x+y,则M与点A、B、C共面,或者=x+y+z且x+y+z=1,则M与点A、B、C共面,A、B、D三项不满足x+y+z=1,C项满足=x+y,故选C.4.已知向量a与b不共线,则a,b,c共面是存在

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