精算模型修匀理论个人学习笔记

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1、Chapter04〜07理赔分布一、表格数据修匀方法：核心思想：取定一个观察序列仏作为初始估计序列，根据关于乩的先验分布，修改这个序列的值，产生一个修正估计序列％A.移动加权平均修匀（M-W-A）1、表达式："产（2〃+1为修匀幅度）2、特殊化：①对称性：ar=a_r,‘•=1,2,…,n②再生性r=-/»<=>E(t、XE工a"n1Lx+r厂=一〃)r=-/zO工£=1r=-n3、误差分析：UX=J+E「?严£匕・以+严£匕・（口.+耳+,）r=-/ir=-nnnDS=DE「D〈=Dm・E+=》q.2・DE/r«-/i记Rj=D匕/DU’若假设｛仗+」独立且同方

2、差为，，则r=-n4、确定a,：在茲=1的条件下，取得凡2的最小值.1、基本思想：对修匀结果的光滑和拟合的要求.2、表达式：+©(叫-“J+Zr當△:订X=1X=13、备注①・权重0往往确定为或—(/7是代关于所有X的均值)叫(1一叫)n②：Z阶幷分算了△飞=叫+厂(叫+一

3、+(-1)€匕+“2+•••+(j)~C：叫一阶差分算子：A'vv=匕+1-叫二阶差分算子：A2vt=匕+2-2vr+1+匕三阶差分算子：品*=儿+3-3也+3vx+1-vx(Vv+r,Vv+Z_,,叫+=_2，…，叫的系数与(1-X)：二项展开式系数一致)4、矩阵《：使得/<“=仏3，小2,…

4、，△乜・zj・5^矩阵形式：M=(v—u),w(v—u)+h(K/v),(K/v)・其中w=cHag(a),a)2，・・・，a)J,#=(片，冬，…，匕)‘，口=(«1，“2，・・・，匕)6、确定v:M的极小化要求嬰■=(),x=l,2,・・・,n,得〔w+hK/K,]v=wu・C、二维Whittaker修匀1、表达式：M=F+q・、S+0〃S2、备注:m”=EE^-基本思想和方法同一维的情形，仅是推广为高维!(t-m)rA'(t-m)2A(0=JuT(WIJ=(u-t)'Bl(u-t)21＞基本步骤：①确定°的先验分布：Tx②确定实验模型（在T已知的情况下）：

5、□〜・③确定后验分布（在已知样本S的前提K）：卩沖〜・Aw（m）="八、（（Baysian概率公式）fuu）④修匀值匕得确定，vr=£（r

6、t/）2、特殊情形①Kimeldorf-Jones方法：（连续型：先验分布为多维正态分布）①其屮t=（也，•••，_），均值m=（〃《,加2,…,〃7”），协方差矩阵A・②在厂已知的情况下，估计量U的条件密度为:其中u=（"

7、,“2,…,匕），协方差矩阵B・②在U己知的情况下，T的后验密度为./“（"”）・③确定修匀值为V=(VJ2，・・・*J：v=(A"+B1)_，(A*m+B'u)o(A“+B“)v=(A'm+B5)oA-

8、1v+B1v=A'm+B'uoA'v+B'v=A'm+B'u<=>A1(v-m)=B'(u-v)记忆方法:(A-'+Bd)v=(A-,m+B~,u),2、特殊情形②Dirichlet方法：（离散型：先验分布为多项分布）模型假设①最后一个死亡最迟发生在第〃个时间区间内.②在Dirichlet修匀中，T的先验分布是Dirichlet分布:Jt(t)=Y[tja，9参数d=q>0・/=!符号说明验证步骤易知：先验死亡率£（7J）=—・aD—第i个时间区间的死亡人数—不同时间区间内死亡人数d—开始观察时，群体人数d=£p=h1=11=16—某个人在第i个时间区间上的死亡率，

9、Ti—Bayes观点中"所对应的随机变量d=（£,〃2,・・・,〃“）',t=（“，“，•••，/”）'，丁=（斤，卩2，・・・，几）①D=（D,D2,…，DJ〜多项分布B（/,%，•••,〃〃）〃I^ir(d

10、t)=—nz/•1=1②T的后验分布仍为Dirichlet分布：九（Ud）=—n<（fl，+

11、量工的一个数学函数，即修匀值迅号冬表示成兀的带参函数.基本函数形式：（关于死亡力几的含参数函数形式，生存概率p=eh，"d，.）死广力形式：h、=Be",B>0,c>0・Inhx=Infl+（lnC）x（ln/人与x成线性关系）生存概率形式:p、=g"T・Inpx=c”（c_1）・Ing（In久成等比性质）此形式可由hx=Bcx积分可得，其中令g=死匸力形式：hx-k^x-a^,x>a9代>0,//>0.特殊形式：a=0时，hx=k-工"Inhx=InA;+w-Inx（ln/;x与Inx成线性关系）生存概率形式：p、=exp【预检】lnpx=—^-Axlt+ln