二次函数背景下的相似三角形

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1、1、二次函数背景下的相似三角形知识梳理二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图1-1的几种基本型。若是非直角三角形有如图1-2的几种基本型。利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。【例题点拨】【例1】如图1-3，二次函数的图像与轴相交于点A、B，与轴相交于点C，经过点A的直线与轴相交于点D，与直线BC垂直于点E，已知AB=3，求这个二次函数的解析式。【思路解析】二

2、次函数解析式中只有两个待定系数，因此只需要求出A，B两点的坐标代入解析式即可。已知线段AB=3，只要求出OA的长度便可知A，B两点的坐标。【点评】和有一个BCD为公共角，在这个基本图形下有6对直角三角形相似，找到OA，OB所在直角三角形△BOC和△DOA相似是解此题的关键。【例2】如图1-4，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为C，且在轴上截得的线段AB的长为6.（1）求二次函数解析式；（2）在轴上方的抛物线上，是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。【思路分析】根据已知条件线段AB的长为6和

3、抛物线的对称轴，已知△ABC是底角为30°的等腰三角形，若△ABD和△ABC相似，则AD=AB=6，ACB=DAB=120°。解或者，便可求得D点的坐标。【点评】抛物线的对称轴是重要的性质也是本题的第一个难点，破解后便能发现△ABC是特殊等腰三角形，继而联系到△DAB也是特殊等腰三角形，运用边角之间的特殊关系便可求得D点的坐标。本题第（2）题还可用代数法。设D点坐标，则BD便能表示成含有的代数式，因为△ABD与△ABC相似，所以，将已知线段代入后解关于的方程便能求出D的坐标。【例3】如图1-5，已知AC=BC，ACB=90°，点B的坐标为（1，0），抛物线A、B、C

4、三点。（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在轴上方轴左侧的抛物线是否存在一点M，过M作MG⊥轴于点G，使以A，M，G三点为顶点的三角形与△PCA相似。若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【思路分析】第（3）题可知△PCA是直角边的长度是1:3的直角三角形，若△AMG和△PCA相似，则△AMG也是直角边的长度是1:3的直角三角形，设M。因为M在轴上方轴左侧的抛物线上，则线段AG和MG可分别表示为和，关于的方程便可轻松建立，然后求出M的坐标。【点评】若没有“点M在轴上方轴左侧的抛物线上”这一限制条件，

5、则线段AG和MG可分别表示为和解方程时去绝对值出现四个一元二次方程，情况将更加复杂，解将更多。【例4】如图1-6，在平面直角坐标系中，二次函数-的图像经过点A（4,0），C（0,2）。（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2,0）是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，试求点E的坐标。【思路分析】△ABC的三个顶点都是定点，而△CDE的两个顶点固定，第三点在定直线上，先排除点E在轴下方的可能性，当点E在轴上方时，可证CDE=CAO，相似三角形分类讨论只需考虑两种情况。【点评

6、】很多学生看到两个三角形相似就会分三种情况讨论，找到很多本身并不存在的相似三角形，得到很多增根。其实首先应该分析三角形的形状特征：哪些角是定角，哪些边长可求，有没有相等的角。这样分类讨论更加简明。【强化训练】1、在直角坐标系，已知点A（3,3），点D（-4，-2），AB、CD都是与轴垂直，B、C是垂足。如果在线段BC上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，求点P坐标。2、已知：如图1-8，抛物线与轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋90°到△A'OB'，且抛物线过点A'，B'。（1）求A，B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点D在轴上，若以B、

7、B'、D为顶点的三角形与△A'B'B相似，求点D的坐标。3、如图1-9，直线OA与反比例函数的图像交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图像交于点B，与轴交于点C。（1）求直线BC的解析式；（2）求经过A、B、C三点的二次函数解析式；（3）设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D，对称轴与轴的交点为E。问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。4、如图1-10，直线与轴分别相交于A，B两点，，抛物线经过点A，顶点M在直线上。（1）求的值；（2）求抛物线的解