对称矩阵的性质及其应用【毕业论文】

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1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学对称矩阵的性质及其应用14目录1对称矩阵的性质11.1对称矩阵的基本性质11.2实对称矩阵的性质31.3复对称矩阵的性质82对称矩阵的应用92.1二次型标准化92.2二次曲面的分类102.3多元函数的极值1114对称矩阵的性质及其应用摘要本文以矩阵的相关知识为基础，先给出了对称矩阵的相关概念及其背景；然后总结探讨了对称矩阵的一些性质，在此基础上又对对称矩阵的加法、乘法等运算相关性质进行研究；最后介绍了对称矩阵在二次型等方面的应用.关键词对称矩阵；实对称矩阵；复对称矩阵；二次型；应用在矩阵中，对称

2、矩阵是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类.本文给出了对称矩阵的相关性质及其应用.1.对称矩阵的性质若且满足(是A的转置矩阵)，则称A为数域P上的对称矩阵.对称矩阵作为特殊的矩阵，是由二次型得出的一个概念.定义1数域上的一个n元二次型与线性替换用矩阵A表示，则有系数排成的一个矩阵它就称为二次型的矩阵，因为，所以.我们把这样的矩阵称为对称矩阵.根据定义1，显然，A为对称矩阵的充要条件即或.对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应元素相等.1.1对称矩阵的的基本性质对称矩阵作为特殊的矩阵，同样满足相关的矩阵的

3、运算，有如下性质：(1)两个对称矩阵的和或差仍是对称矩阵；(2)数与对称矩阵的乘积仍是对称矩阵；不难验证对称矩阵的线性运算（矩阵的和差及数与矩阵的乘积运算）中，满足下列运算规律①②③④⑤⑥14⑦⑧以上A,B,C都是n阶对称矩阵，O为元素全是零的零矩阵，k,l是数.(3)两个对称矩阵的乘积是对称矩阵的充要条件是这两个矩阵可交换；.然而一般地，即对称矩阵的乘法不满足变换律；但仍满足一下运算规律：①②③④特别地，由矩阵乘法可得对称矩阵的正整数幂仍为对称矩阵.其次，如果，且A是对称矩阵，根据A中元素的代数余子式的定义必有（是A中的元素的代数余

4、子式），由伴随矩阵的定义（见[1]P178），那么.所以有(3)对称矩阵的伴随矩阵也是对称的；因为当A可逆时，,所以由2）可得(4)当A可逆时，它的逆矩阵也对称.如果对称矩阵A,B可逆，那么与AB也可逆，且.所以，由(3)有：对称矩阵的负整数幂仍为对称矩阵.即(5)对称矩阵的整数幂仍为对称矩阵.对阵矩阵的的幂满足下列运算规律：①②注意由于矩阵的乘法不满足交换律，所以在一般情况下（设A，B为n阶对称矩阵），,但下规律成立.(6)设A,B，是n阶对称矩阵，且，则.1.2实对称矩阵的性质下面将要从四个方面来了解实对称矩阵的一些相关性质.14

5、1.2.1合同标准型定义2设，如果存在可逆矩阵P使得成立，就称矩阵A,B合同.矩阵的合同关系满足以下关系1）反身性：A与A合同.().2）对称性：若A与B合同，则B与A亦合同.事实上:∵A与B合同，即存在可逆矩阵P使∴∵可逆.故也.3）传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同.事实上：存在可逆矩阵P、Q使，，而PQ可逆.故也.定理1.1若A与B合同，A为对称矩阵,则B亦是.事实上：∵存在可逆矩阵P使,,故也.显然与对称矩阵合同的矩阵也一定对称，合同关系也是矩阵之间的等价关系.当然对对称矩阵实施若干次合同变换后仍是对称矩阵.定理1

6、.2合同矩阵有相同的秩.定理1.3任一对称矩阵都合同于对角矩阵.若是复对称矩阵，则合同于一形为的矩阵，其中为矩阵A的秩.若A为实对称矩阵，则A合同于一形为的矩阵，其中为矩阵A的秩，称为A的正惯性指数，而称为A的负惯性指数.1.2.2特征值、特征向量定理1.4设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数.证：设是A的任意一个特征值，为相应的特征向量.令，其中为的共轭复数，则于是14又因为非零向量，因此故，即是实数.定理1.5设A是实对称矩阵，则中属于A的不同特征值的特征向量必正交证明设是A的两个不同的特征值，是分别属于的特征向量：.由，有.因

7、为，所以.即正交.例1设三阶实对称矩阵的特征值为，对应于的特征向量为,求A.解由于属于不同特征值的特征向量必正交，故设对应于的特征向量，记，由，有，解得.再由,得.1.2.3相似标准型定义3若,且存在可逆矩阵使得成立，则称具有相似的关系.由定义3，显然相似关系不一定能保持矩阵的对称性.当且仅当定义3中的矩阵是正交矩阵时相似关系能保持矩阵的对称性，即对称矩阵是欧氏空间的对称变换关于不同标准正交基的矩阵，那么它们必相似；反之，两个相似的实对称矩阵必是欧氏空间的某个对称变换关于不同标准正交基的矩阵.14由于实对称矩阵的特征值都是实数，所以实

8、对称矩阵有很好的相似性质；实对称矩阵必与一对叫矩阵（其中是的特征值）相似.定理1.6对于任意的一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使成对角形.由相似矩阵有相同的特征值，主对角线上的元素即为的特征值,且的各列为