中学物理中最值问题的求解方法

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1、第36卷第5期物理教师Vo1．36NO．52015生PHYSICSTEACHER(2O15)中学物理中最值问题的求解方法高兴玉(乌鲁木齐八一中学，新疆乌鲁木齐830002)求解极(最)值问题对学生综合分析能力和应(720+gh)t。一h，用数学知识解决物理问题的能力要求较高，它是当￡z=：：一±时，zz有最大值，即z有最学习中的难点，又是高考(或竞赛)中的热点，因此厶“g极(最)值问题应引起大家的足够重视．大值1利用二次函数(或配方法)求极值一詈耳硒，对于函数Y一口z。+bx+C，若a>0，当z：=：一麦时，有极小值为一—4ac-bz

2、；若口<0，当再将t的数值代人一一。sina·￡一÷g￡．有口一arcsin—————兰——一z===一乏时，有极大值为ym．x-—4ac-bz．／2vo+2gh．x例1．某理想变压器当其输入端接在电动势为2禾U用0另0式E，内阻为r的交流电源上，输出端接上电阻为R对于给定的一元二次方程n+bx+C一0，当的负载时，R上可获得最大功率．这时输入电流多在实数范围内有解时，其判别式A—b一4ac≥0，大?负载上的最大功率为多少?负载获得最大功若在实数范围内无解，则△<0．率时，变压器的原副线圈电压各为多少?变压器例3．如图2，顶角为2的变

3、压比为多少?的光滑圆锥置于磁感应强度设原线圈中电流为J时，负载上获得最大功为B，方向竖直向下的匀强率，这时变压器的输出功率也最大，则磁场中，现有一质量为m、带正电q的小球沿圆锥面在水P=IiE-I,2r一-一)‘+Ez，平面内做匀速圆周运动，求小球做圆周运动的半径R必图2当·一御时’P⋯一等．须满足的条件，并求出半径R的最小值．设负载上电压为，贝lJ警一等脚一E√手R，解析：小球受力如图2，有2这时原线圈上电压u一E—。r一E．，变压器的变压NsinO=mg，f-NcosO=mU，而f=qvB．由以上3式得比为√专．qvB=+ragc

4、ot0．(1)例2．在掷铅球时，铅(1)式变形为球出手时距地面的高度为gt2h，若出手时的速度为。，一qB-t-mgcot0=0．问以何角度掷球时，水平要使有解，其根据判别式△≥O，即射程最远?最远射程为_『多少?h△一(-qB)L4≥o，解析：将铅球的运动』卜——一————R≥．故一．分解为沿方向的匀速直图1线和竖向下的自由落体运3利用定和定积原理动，如图1所示，则有如果两(个)个正的变数之和为常数，则当它们相等时其积最大；两(个)个正的变数之积为常2一cL(扣。一)一一+数，则当它们相等时其和最小．一85—Vol

5、36NO．5物理

6、教师第36卷第5期(2O15)PHYSICSTEACHER2015正例4．如图3所示，一根粗细均匀一Il_1_时所需的拉力最小．由平衡条件上竖呈直放置．管中有长为h一20’cm的十I1N-4-F~ina—mg，水银柱，当温度为t===0℃时，水银柱下IlIfFcoSe—一0，f一N．面的封闭气柱长为H一60cm，外界大气l1I—解得F一图5压强。一76cmHg，问为使水银柱从管lIlIC0S口1_“S1na中全部溢出，温度至少要达多少度?如上U_J_’其中tan·果管长改为z一120cm，保持其他条件图3不变，结果怎样?因lcos(a

7、-9)I≤1，当cos(a-)一1时，Fm一解析：设水银柱外溢zcm(0<<20)时，对笆。应的温度为所求温度T．以封闭气体为研究对象，气体的质量保持不变，以升高温度前气体的状5利用几何法(或动态平衡的极值原理)态为初态，以水银外溢-zcm时，气体的状态为末对三力动态平衡的问题，如果一个力大小和态，设玻璃管的横截面积为S，则方向都不变，第二个力方向不变，第三个力大小和初态：P1一o+h一96cmHg，Tl一273K，方向都改变，当第三个力达到直角边(第一个力为VL—H·S一60S；斜边)时，第三个力达最小值．末态：2一0+(h—)一(

8、96一z)cmHg，V2一Z—h+z一(70+．17)S，T2一T．根据理想气体状态方程一乌，代人数据并化简，得一273·(96一z)(70+z)96×6O’可用极值奎原理求得夸，图s．如’。因(96一)+(70+z)一166为常数，当96一z一7O+z，即X===13cm时，其积(96-x)(70+z)达最图6所示，tanq~=寺一．当F_IR时，F最小，最小大，故Tm一326．5K．也就是说，当水银外溢13cm值为F。一Mgsin一，此时口一===时，水银柱平衡的温度最高．如果温度继续升高，l耻哪怕只是一个很小的温度，水银也会一直

9、外溢，直arctan／~．到全部溢出为止．6利用费马原理(或根据类比法)对于z一12Ocm情况下，即费马原理指出：光从空间一点到另一点是沿96×60(96一．z)(】OO+)着光程为极值(极大、极小或恒定值)的路径传Z／