2019秋高中数学第三章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式练习（含解析）新人教A版必修5

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1、第1课时基本不等式A级　基础巩固一、选择题1．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是(　　)A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋1＞2xC.≤1D．x＋≥2解析：对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立．答案：C2．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则(　　)A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤3解析：因为a2＋b2≥2ab，所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，所以a

2、2＋b2≥2.答案：C3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　)A.＞B.＜C.＝D.≤解析：因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2，故＞.答案：A4．a，b∈R，则a2＋b2与2

3、ab

4、的大小关系是(　　)A．a2＋b2≥2

5、ab

6、B．a2＋b2＝2

7、ab

8、6C．a2＋b2≤2

9、ab

10、D．a2＋b2＞2

11、ab

12、解析：因为a2＋b2－2

13、ab

14、＝(

15、a

16、－

17、b

18、)2≥0，所以a2＋b2≥2

19、ab

20、(当且仅当

21、a

22、＝

23、b

24、时，等号成立)．答案：A5．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)

25、A.<>D.<<解析：a>b>0，>，<＝.从而>>.答案：C二、填空题6．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat____loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a2＋a－2>0，所以a>1或a<－2(舍)，所以y＝logax是增函数，又≥，所以loga≥loga＝logat.答案：≤7．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________(填序号)．答案：①②③8．若0＜a＜b且a＋b＝1，试判断、a、b、2ab、a2＋b2的大小顺序：_____

26、____________________________________________.解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，6所以a＜＜b，　　　　　①2ab＜a2＋b2，　　　　　　　②下面寻找②中数值在①中的位置．因为a2＋b2＞2＝，a2＋b2＝a·a＋b2＜a·b＋b2＝(1－b)b＋b2＝b，所以＜a2＋b2＜b.又2ab＜2＝，2ab＞2×a＝a，所以a＜2ab＜.所以a＜2ab＜＜a2＋b2＜b.答案：a＜2ab＜＜a2＋b2＜b三、解答题9．已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小．解：对，，分别利用不等式2(a2＋b2)≥(a

27、＋b)2，即可比较出二者的大小．因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时，等号成立．又因为a，b都是非负实数，所以≥(a＋b)，当且仅当a＝b时，等号成立.同理≥(b＋c)，当且仅当b＝c时，等号成立，≥(c＋a)，当且仅当a＝c时，等号成立．所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．故＋＋≥(a＋b＋c)．10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.6求证：＋＋＜＋＋.证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，以上三个

28、不等式相加，得2≥2(＋＋)，因为a，b，c为不全相等实数，所以＋＋＜＋＋.B级　能力提升1．设f(x)＝lnx，0pC．p＝rq解析：因为0，又因为f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋(b))＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln.＝f()＝p.故p＝r2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1，其中正确的是________(填序

29、号)．6解析：因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以a2＋1≥2a，故①不正确．对于②，当x>0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x<0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，所以②正确．对于③，若a＝b＝－1，则＝－2<2，故③不正确．对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．答案：②④3．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c

30、)2＝1，