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《中考数学函数压轴题：将军饮马问题的应用----最短路径最小值问题专题训练》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、将军饮马问题的应用最短路径最小值问题专题训练“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前來向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的冋答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。河流事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。另外，从某
2、种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常牛•活中确实重要且应用广泛。这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。下面我就几个例题来具体分析解决。【典例探究】(•梧州)如图,抛物线y=ax2+bx-4(aHO)与x轴交于A(4,0)、B(-1,0)两点，过点A的直线y二・x+4交抛物线于点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC上有一动点E,当点E在某个位置时，使ABDE的周长最小，求此时E点坐标；(3)当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A-C-B-D-A上运动吋，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符
3、合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)先判断出周长最小时BE丄AC,即作点B关于直线AC的对称点F,连接DF,交AC于点E,联立方程组即可；(3)三角形BDE是直角三角形时，由于BD>BG,因此只有ZDBE二90°或ZBDE二90°,两种情况，利用直线垂直求出点E坐标.【解答】解：(1)•・•抛物线y=ax2+bx-4(aHO)与x轴交于A(4,0)、B(-1,0)两点,16a+4b-4=0a~b-4二0・・・严，[b二_3・••抛物线解析式为尸/・3%・4,(2)如图1,由(1)得，抛物线解析式为y=x2-3x-4①,・・・D(0,・
4、4),•・•点C是直线y二・x+4②与抛物线的交点，・••联立①②解得，(舍)或(X=_2,[尸01尸6AC(-2,6),VA(4,0),・•.直线AC解析式为y=-x+4,•・•直线BF丄AC,且B(-1,0),・・・直线BF解析式为y=x+l,设点F(m,m+1),AG(匹丄，时^),22•・•点G在直线AC上,-罗+4罟'111=4,・・・F(4,5),VD(0,-4),・•・直线DF解析式为y二2x・4,4・・•直线AC解析式为尸・x+4,・・・直线DF和直线AC的交点E(上殳—),1313(3)TBD二VI?,由(2)有，点B到线段AC的距离为BG二丄BF二丄X5｛去宝2>BD,2
5、22AZBED不可能是直角，VB(・1,0),D(0,・4),・•・直线BD解析式为y=・4x+4,VABDE为直角三角形，・••①ZBDE=90°,・・・BE丄BD交AC于B,・・・直线BE解析式为y二丄x+丄，44•・•点E在直线AC：y二・x+4的图象上，・・・E(3,1),②ZBDE=90°,・・・BE丄BD交AC于D,・・・直线BE的解析式为y二丄x・4,4•・・点E在抛物线y=x2・3x・4上，・・・直线BE与抛物线的交点为（0,-4）和（丄色，-里），416・・.E（丄色,■里）,416即：满足条件的点E的坐标为E（3,1）或（丄色，・里）.416【方法突破】对于这种涉及求线段
6、和的最小值问题或是求在运动过程中三角形的周长的最小的问题通常都属于将军饮马问题.常见模型：在直线同一侧有两个点A,B,在直线上找一点使得所找点与已知A,B两点距离和最小，通常是过其中一个点作已知直线的对称点，然后连接另一点，与直线的交点即为所求的点。【学以致用】1.如图，正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是1.如图,牧童在A处放牛，他的家在B处，1为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮-饮水,饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短？A.•B2.如图，点P为马厩,AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，
7、然后到河边饮水,最后冋到马厩.请帮他确定一条最短行走路线.3.（•贺州）如图，矩形的边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（10,8）,沿直线0D折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6,8）,抛物线y=ax2+bx+c经过0、A、E三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长;（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求点P的坐标.【分析】(1)利用矩形的性质和B点的坐标可求
