2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章 第六节 简单的三角恒等变换 含答案

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1、第六节简单的三角恒等变换1．常用的公式变形(1)由(sinα±cosα)2＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝1±sin2α.(2)由(sinα±cosα)2＝1±sin2α⇒(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；cos2α＝，sin2α＝.(4)sinα±cosα＝sin.2．几个常用的恒等变换(1)万能代换：sinα＝；cosα＝；tanα＝.(2)恒等式：tan＝＝.[小题体验]1．计算：cos2－＝________.解析：原式＝＝＝.答案：2．已知sin＝，sin＝，则tan

2、x＝________.解析：因为sin＝，sin＝，两式展开相加得2sinxcos＝，　①两式相减得2cosxsin＝－，　②①②两式相除得tanx＝－7.答案：－71．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错．2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．[小题纠偏]1．(2019·镇江调研)已知x∈，且sin2x＝，则sinx－cosx＝________.解析：∵x∈，∴sinx＜cosx，又sin2x＝，∴sinx－cosx＝－＝－＝－.答案：－2．已知sin－c

3、os＝－，450°＜α＜540°，则tan＝________.解析：已知等式两边平方得sinα＝，又450°＜α＜540°，所以cosα＝－，所以tan＝＝2.答案：2　[题组练透]1．化简：＝________.解析：原式＝＝2cosα.答案：2cosα2．化简：(0＜θ＜π)．解：原式＝＝cos·＝.因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝－cosθ.[谨记通法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次

4、升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．　[锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有：(1)给值求值；(2)给角求值；(3)给值求角．　　　　[题点全练]角度一：给值求值1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－，若f(α)＝，则cos＝________.解析：法一：f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin

5、2x＋cos2x＝sin，因为f(α)＝，所以sin＝，所以cos＝cos＝sin＝.法二：f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x，因为f(α)＝，所以sin2α＋cos2α＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝(cos2α＋sin2α)＝×＝.答案：角度二：给角求值2．化简：sin50°(1＋tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋tan10°)＝sin50°＝sin50°×＝sin50°×＝＝＝＝1.答案：1角度

6、三：给值求角3．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝________.解析：因为α∈，所以2α∈，因为sin2α＝，所以2α∈.所以α∈且cos2α＝－，又因为sin(β－α)＝，β∈，所以β－α∈，cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝.答案：[通法在握]三角函数求值的类型及解题策略(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”

7、，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．[演练冲关]1．已知cos＝，则cos＝________.解析：∵cos＝sin＝，∴cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.答案：2.＝________.解析：原式＝＝＝－.答案：－3．已知α∈，tan＝，那么si

8、n2α＋cos2α＝________.解析：由tan＝，知＝，所以tan2α＝－.因为2α∈，所以sin2α＝，cos2α＝－.所以sin2α＋cos2α＝－.答案：－　[典例引领]1.(2019·睢宁模拟)已知函数f(x)＝cosxcos＋sin2x－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈