问题详解--如何能证明圆地切线

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1、实用标准圆的切线证明一、连半径，证垂直要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．1、如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．证明：连接OC，BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．∵∠CAB＝30º，∴BC＝AB＝OB．∵BD＝OB，∴BC＝OD．∴∠OCD＝90º．∴DC是⊙O的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论

2、，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90º．2、如图，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．　　证明：连接OC，则OA=OC，　　所以∠CAO=∠ACO，因为AC平分∠EAB，　　所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，　　所以AE

3、∥CO，　　又AE⊥DE，所以CO⊥DE，　　所以DE是⊙O的切线．3、已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O的切线。   点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。   证明：连结OD。∵AD∥OC，   ∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA文档大全实用标准   ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD   ∴∠COB＝∠COD   ∵CO为公用边，OD＝OB   ∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC   ∵BC是切线，AB是直径，   ∴∠B＝90°，∠O

4、DC＝90°，   ∴CD是⊙O的切线。二、作垂直；证半径如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．1、如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。   求证：AC与⊙O相切。证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．　　∵AB=AC,OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO　　∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．　　∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．2、已知：

5、如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）文档大全实用标准∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.三、角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）1、如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=

6、PD，求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.⌒⌒∵AD是∠BAC的平分线，∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+

7、∠PAD=900即OA⊥PA.文档大全实用标准∴PA与⊙O相2、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若=,求的值。3、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=,CF=1,求⊙O的半径及EF的长。文档大全实用标准4、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC

8、的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.5、在△ABC中，A