如何证明圆切线

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1、如何证明圆的切线证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．图1OABCD证明：连接OC，BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．∵∠CAB＝30º，∴BC＝AB＝OB．∵BD＝OB，∴BC＝OD．∴∠OCD＝90º．∴DC是⊙O的切线．【评析】一定

2、要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90º．二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．图2OABCD231思路：利用圆的切线的性质——与圆的切

3、线垂直于过切点的半径．证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC平分∠DAB．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例3】如图3，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．OABCD图32341思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运

4、用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．证明：连接OD．∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．∴DC是⊙O的切线．【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出

5、了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线　　【例4】　如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？　　解：AC是⊙O的切线．　　理由：连接OC，　　因为OC=OB，　　所以∠OCB=∠B．　　因为∠COD是△BOC的外角，　　所以∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．　　因为∠ACD=2∠B，　　所以∠ACD=∠COD．　　因为CD⊥AB于D，　

6、　所以∠DCO+∠COD=90°．　　所以∠DCO+∠ACD=90°．　　即OC⊥AC．　　因为C为⊙O上的点，　　所以AC是⊙O的切线．　　【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．　　证明：连接OC，则OA=OC，　　所以∠CAO=∠ACO，　　因为AC平分∠EAB，　　所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，　　所以AE∥CO，　　又AE⊥DE，　　所以CO⊥DE，　　所以DE是⊙O的切线．四、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知

7、直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径　　【例6】　如图3，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．　　（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件_______________________．（任写一个）　　（2）增加条件后，请你证明⊙O与AC边相切．　　解:（1）答案不唯一，可以是∠B=∠C，AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO⊥BC等．　　（2）增加条件∠B=∠C后，⊙O与AC边相切．　　证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．　　因为⊙O与AB相切于点D，　　所以∠BDO=∠CEO=90°．　　因为AO是△ABC的中线，所以OB=OC．　

8、　又因为∠B=∠C，　　所以△BDO≌△CEO，所以OE=OD．　　因为OD是⊙O的半径，