【精品】数学分析

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1、数学分析(37)1.设/(兀)在[l,+oo)±二阶连续可微,对任意xg[1,+oo),有/(x)>0,且lim厂(兀)=+8.求证:无穷积分:dx收敛./W证明：设g(x)=/[),力(x)=~V，显然fh(x^dx收敛.因为lim-=lim-=lim=nm=+oo,XT40,（〃=1，2,…），如果limn8求证交错级数£

2、（-1广a收敛n=l/、证明：由limn上匚-1=A>0,可得，存在止整数N,当n>N时,5+1Jr于是有仇｝收敛，£仏-％］）收敛,/?=!出lim—~=limn———1=A>0”》啦“TOO(a曲丿n°°Z7知£旦收敛，曲此可推知必有lima”=0,心nE根据莱布尼兹判别法,有EH收敛。n=l丄收敛4.设匕｝单调递减趋于0,求证：级数立-厂5+。2+他+…21证明：由条件知>6Z,I+

3、>0,(H=1,2,3...),limafl“TQC0,设心Z+•••+©，则有1血化=0,"TOO也厂/治=勺+6；…:「5心0,nyn+[)根据莱布尼兹判别法,有£(_1厂⑷+色+色+…+色收敛

4、。n=l5.设卩〉0,求极限limHT8(1"+2"+・・・+才nnp解：方法I利用STOLZ公式，得lim1"+2卩+・・・+护n)(p+l)(F+2P+…+沪)_limHT8P+1丄恤(E)(E)"—(E厂+严P+1(p+1)—1n——limP+1“TOO<1「pr1、p+i"1+——1+—-11n)(n)p1n+iy-np1+丄-1n)——limp+1xt(t(“+1)x(1+兀)"_[(l+x)""-1无[(1+小〃-1]1]jm(”+1)(1+兀)"+(l+P)M(l+x)""_(卩+1)(1+兀)"p+1xt(txY=_Llim(“+i)0(i+y=j_(〃+i)p=1“+

5、1.YT0(l+x)P_]]〃+lP+P2AL+p[l+X)X方法II设/(x)=xp'则冇I=]/(x)dx=—’l"+2"+3〃+・・・+护n4==nlim&幵一>86•计算极限lim"一1、kV/72+12Vh2+22J『丿解:Inlim”T87.设/(兀)在(-50)内具有二阶导数(5>0),“()时，/*(兀)工0,1Klim^xtO*0,r(0)=A,求前+仙'7xtO解：f(0)=limf(x)=limx--L/(x)l厂(O)=lim'UK。)==0,'丿XT°X-0XT°X訥丛LbnZ⑴一厂⑼詁厂(O)Q2曲x-02v72丁Aolim単XTOX2XTO2x/lim1+

6、xtOx2=limx—>0/(x)W8、设/⑴在闭区间[恥]上二阶可导，厂（凹]=0,且/（兀）不恒为常数,I2丿求证：存在z(a,b),使得fn(^)

7、>4f(«)-/(/?)

8、o(b—a)S+b、ra--hb-af"(^i)fb-aH—2!+//a+ba-b(/n(^2)fa_b，丁J122!厂匕）厂亿）'b_a、22I2丿(a+hJ丁92/ga,a+b、I22<匕2

9、厂(殆+厂(£2)

10、_4{

11、厂(础,

12、厂@)

13、}(b-aV5max4故存在£e(a,b),使得

14、厂(£)

15、>4x21/~f(a)(i)用反证法，假设结论不成立，则对任意h~a）从而

16、厂（兀）卜厂（兀）一

17、厂（字、5（A2

18、/少）-/（0）

19、x~^-，兀w[o问[b-a）L由/(◎-/⑷卜『厂(兀)dxW(fx)dx

20、/(^)-/⑷兀-乎dx于是f*（x）不变号，且厂（x）二42

21、/（叭一/（。）

22、兀—¥[b-a）L或厂小右恥I⑷―竽,得厂（兀）在兀=晋出不可导，矛盾所以假设不成立，故存在使得I厂（耐'命卩少—/仗）卜9.设Ovxv丄，求证：；rx(l-兀)〉(1一2兀)tan(yrx)2证明：设f(^)=-x)-(1-2x)tannx,则有/(0)=0,/*(%)=乃(1一2兀)一(1一2兀)—————+2tan(zrx)COS，7TX)=tan(龙兀)[2—龙(1一2

23、兀)tan(龙兀)],令g(x)=2-^(1-2x)tan(yrx),则冇limg(x)=O,g旳”1门[2)/gx)=7Trr2tan(^x)-(l-2x)———~-cos，(空)7tCOS’S%)[sin(2ttx)-(1-2x),0,再令/?(x)=sin(2^x)-(l-2x)^,h(

24、A「11•由/?'(%)=2^cos(2^rx)+>0,xg0,—，力(兀)在0,—上严格单调递增,I2丿L2_<1(1>当0v兀v丄时，/?(x)