3、,此时，k=8(^2——r)=8(r--)2一一1+心2242根据二次函数k=8(t-^)2-^的图彖性质知：当t=^时，rmin=-
4、max所以，直线/的斜率R的取值范围是[--,4]25
5、6•已知定义在正实数集上的函数f(x)=-x2+2axfg(x)=3a2x+bf其中d>0・设两2曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用Q表示b,并求b的最大值；(2)求证：f(x)>g(x)(兀〉o)・*尤+2cix(}=3a2InxQ+b,-3a2x0+2d=,解：(I)设歹=/(%)与y=g(兀)(兀>0)在公共点(如,%)处的切线相同.V/r(x)=x+2a,Q2gx)=—f由题意ghgCv。)，佗)=gg・即<由xQ+2a=得：x{}=a,或x0=-3a(舍去).即有xob=—+2/—In6/=——3q~Inci.125丄令/2(
6、r)=
7、r2-3r2lnr(r>0),则W)=2r(l-31nr).于是当r(l-31nr)>0,即0时，hf(t)>0:当r(l-31nr)<0,即时,ht)<0.故/?(/)在0,为增函数，在e3,+°°为减丿函数，于是力(。在(0,+8)的最大值为力»(II)设F(x)=f(x)-g(x)=—x2+2(ix-3a2lnx-Z?(x>0)则F(x)=x+2a-—=(X-6/)(X+(x>0).故F(x)在(0,XX为增函数，于是函数F(兀)在(0,+8)上的最小值是F(a)=F(x0)=/(x0)-g(^0)=0.故当兀>0时,有f(x)-g(x)>0,即当兀>0时,f
8、(x)-g(x)>0.kx4-157•已知函数/(%)=——(c>0且CH1,keR)恰有一个极大值点和一个极小值点，1+c其中—个是x=-c・(1)求函数/(劝的另一个极值点;(1)求函数/(x)的极大值M和极小值加，并求M-rn^l时k的取值范围.W：(I)f(x)=k(x2+c)-2x(Ax+1)-kx2一2x+ck(x2+c)2(x2+c)2由题意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)chO,:.k^O.由/'(x)=0W-H2-2x--ck=0,2由韦达定理知另一个极值点为X=1(或x=c-—).k22(II)由C)式得——，即c=l+—•当c>l时，
9、k>0；当0vcv1时，k<-2.c-k(i)当R>0吋,f(x)在(一oo,—C)和(l,+oo)内是减函数,在(-C,l)内是增函数.•••M=/(—c)=-k22(k+2)>0,m=/(l)=-
10、<0:.M-ci、k+k—kc+1—k2八=/(l)==>0,m=f(c)===<0,c+l2八c2+c2伙+2)由M--m=k+k31及£〉0,解得心迈.22伙+2)(ii)当k<-2时，/(兀)在(—8，—c)和(l,+oo)内是增函数，在(—G1)内是减函数.M-m=——-=1—伙+厅+1ai恒成立.2仗+2)2k+2综上可知，所求k的取值范围为(-oo,-2)[a/2
11、,+oo).5&设函数f(x)=x-W+X)・1+X(1)令N(x)=(l+x)2—l+ln(l+x),判断并证明N(Q在(-1,+8)上的单调性，求N(0)；(2)求/(力在定义域上的最小值;(3)是否存在实数m、n满足05加<斤，使得/(x)在区间［m,n±的值域也为［m,n］?解：(1)当兀>一1时，N'(x)=2x+2+—!—〉0,所以N(x)在(-1,+->)上是单调递增,1+XN(0)=00(2)/(兀)的定义域是(T,+8),171+无)(1+劝2N(x)(1+x)2当一lv
