2020年高考数学（文）一轮复习讲练测专题2.7 对数与对数函数（讲） 含解析

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1、专题2.7对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.知识点一对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.知识点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②l

2、ogaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).知识点三对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>101时，

3、y>0；当01时，y<0；当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数知识点四反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.【特别提醒】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.考点一　对

4、数的运算【典例1】（2019·广东中山一中模拟）计算：÷100－＝________.【答案】－20　【解析】原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.【方法技巧】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【变式1】（2019·河南新乡一中模拟）

5、已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.【答案】4　2【解析】设logba＝t，则t>1，因为t＋＝，所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.考点二对数函数图象及其应用【典例2】（2019·广西桂林十八中模拟）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)A.　　　　　　　　　B.C．(1，)D．(，2)【答案】B【解析】易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1，故选B.【

6、方法技巧】(1)识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式2】（2019·四川棠湖中学模拟）设方程10x＝

7、lg(－x)

8、的两个根分别为x1，x2，则(　　)A．x1x2＜0B．x1x2＝0C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1【答案】D　【解析】作出y＝10x与y＝

9、lg(－x)

10、的大致图象，如图．显然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，所以10x1＝lg(－x1)，1

11、0x2＝－lg(－x2)，此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.考点三比较对数值的大小【典例3】【2019年高考天津文数】已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，，即，所以.故选A.【方法技巧】（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较【变式3】【2019年高