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1、弦切角的性质1.如图,△ABC为☉O的内接三角形,AB为直径,D为BC延长线上一点,PC切☉O于C点,∠PCD=20°,则∠A等于( ) A.20°B.30°C.40°D.50°答案:A2.如图,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD,EF切☉O于C点,那么图中与∠DCF相等的角的个数是( )A.4B.5C.6D.7解析:∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC,∠DCF=∠BCE,∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC.答案:B3.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,AB是直径,MN是☉O的切线,C为切点.若∠BCM
2、=38°,则∠B等于( )[来源:学科网ZXXK]A.32°B.42°C.52°D.48°解析:连接AC,如图所示.∵MN切圆于C,BC是弦,∴∠BAC=∠BCM.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠B+∠BAC=90°.∴∠B+∠BCM=90°,∴∠B=90°-∠BCM=52°.答案:C4.如图,AB是☉O的直径,EF切☉O于点C,AD⊥EF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为( )A.2B.3C.2D.4解析:连接BC,如图所示.∵EF是☉O的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又AD⊥EF,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC∽△ACB.∴.∴AC
3、2=AD·AB=2×6=12,∴AC=2.答案:C5.如图,AB是☉O的直径,PB,PE分别切☉O于B,C,若∠ACE=40°,则∠P= . 解析:如图所示,连接BC,则∠ACE=∠ABC,∠ACB=90°.又∠ACE=40°,则∠ABC=40°.所以∠BAC=90°-∠ABC=90°-40°=50°,∠ACP=180°-∠ACE=140°.又AB是☉O的直径,则∠ABP=90°.又四边形ABPC的内角和等于360°,[来源:学科网ZXXK]所以∠P+∠BAC+∠ACP+∠ABP=360°.[来源:学,科,网]所以∠P=80°.答案:80°6.已知AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A
4、是切点,如果∠PAB=30°,那么∠AOB= . 解析:∵弦切角∠PAB=30°,∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°,所对的圆心角等于60°.答案:60°7.如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC= . 解析:连接OC.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE为圆O的切线,则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角,∴∠ACE=∠B.[来源:学
5、科
6、网]∴∠ACE+∠CAD=90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD,∴CD2=ED·AD=2×6=12,即CD=2
7、.∴BC=2.答案:28.如图,AB是☉O的直径,直线CE与☉O相切于点C,AD⊥CE于D.若AD=1,∠ABC=30°,求☉O的面积.解:∵DE是切线,∴∠ACD=∠ABC=30°.又∵AD⊥CD,∴AC=2AD=2.又∵AB是直径,∴∠ACB=90°.又∵∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴OA=AB=2.∴☉O的面积S=π·OA2=4π.9.(2014辽宁,理22)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若AC=BD,求证:AB=ED.证明:(1)因为PD=PG,所
8、以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA.[来源:学&科&网]又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°.于是∠BDA=90°.故AB是直径.(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.
