数学解题策略：进退互化

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1、数学解题策略：进退互化华罗庚教授说过，解题时先足够地退，退到我们最易看清楚问题的地方，认透了，钻深了，然后再上去．他认为，善于“退”，足够地“退”，退到原始而不失重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍．向前推进是人们认识事物的自然趋向，数学知识的发展和命题的形成无一不是一个前进的过程．但是，这种趋势和进程是不平坦的，有时要以退求进，有时要先进后退，恰当运用进退互化正是辩证思维的一个重要策略，具体到一个数学问题，如果直接下手有困难，就可转而考虑一个更特殊的问题或一个更普遍的问题。明智的退有3个基本功能：提示解题方向、

2、寻找解题途径、直接解答问题．●提示解题方向有的题目求解方向不明确，经过“退”（取特殊值、特殊位置、特殊结构）可以找到求解方向，抓住了解题的前进方向，是解题的重大进展。●寻找解题途径[来源:学科网]希尔伯特说过，在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点。问题经过“退”之后，简单了，特殊了，完成起来就容易了，简单情况的处理可能呈现着复杂问题的解决方案，特殊情况的完成可能提供了一般情况的类比基础。今年全国中考刚一结束，我关注到网上各大论坛、一些初中数学老师的QQ群中都在讨论某市

3、的一道中考压轴题，直到一些高中数学老师看到后，一眼看透问题的深层结构，使用了高中数学抛物线的“准线”、“焦点”等知识快速获得了问题的思路，大家都如释重负，感叹命题组专家设计问题的“超纲性”，真是这样吗？我们先看一下题目： [来源:学,科,网Z,X,X,K]评析：这道题难在解读“△PDO的周长最小”时点P在抛物线上的位置，初中阶段常见的三角形周长最小的模式穷尽后也不能发现可用的模型，不少考生在这上面耗时很多，却无功而返，少数优秀考生经过抛物线上各个部分点的分析，最后得到上面解法中的点P，获得答案后仍无法说服自己．如

4、何实现中考为学生进入高中阶段学习蓄势呢？这道题作出了“示范”．命题组设计题目时，为了解决考生不懂准线性质的知识，巧妙地在第(2)问安排了一个直线Z与OA相切的证明，实际上就是告诉考生，点A到原点和到直线Z的距离相等．在经历第(3)问一些熟知的最值模式求解受困后，如果退回第(2)问，仔细想想抛物线上任意一点到原点和到直线Z的距离都相等，那么问题就“柳暗花明”了．●直接解答问题很多数学习题，其实是某个结论的特例，而得出这些“特例”常常就是一个“退”的过程，一个简单化、特殊化、限定或取值的过程．在求解选择题、填空题时，

5、取特殊值是一个很重要的方法．这里的例题讲解详见本篇第4章“小题不能大做”．