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1、第周第课时授课时间：20_年_月—日（星期_）课题：§3.4基本不等式乔矗嘗第1课时授课类型：新授课【学习目标】1.知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3•情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角
2、度探索不等式亦<旦的证明过程；2【教学难点】基本不等式<出等号成立条件2【板书设计】课题：§3.4基本不等式后《嘗（第】课时〉1•课题导入基本不等式亦5旦的几2何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2•讲授新课1.问题探究一一探究图形中的不等关系。2.总结结论：3.思考证明：你能给出它的证明吗？［补充例题
3、］3•随堂练习4.课时小结5、能力提高【教学过程】1•课题导入基本不等式后<出的几何背景：2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2•讲授新课1.问题探究一一探究图形中的不等关系。将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为市。这样，4个
4、直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2+b由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2+h2>2aho当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有cr+b2=2abo2•总结结论：一般的，如果a,bwR,那么a2+b2>2ab(当且仅%=b时取7号)结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。3•思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a2-^b2-2ab=(a-b)2当>0,当口=却寸‘(a-b)，=0,所以,(a-b
5、)2>0,BP(a2^-b2)>2ab.4.Z丿从几何图形的面积关系认识基本不等式临s罟特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b,可得aH而,通常我们把上式写作：亦<^(a>0,b>0)22)从不等式的性质推导基本不等式亦<学2用分析法证明：⑴⑵(3)(4)要证凹n皿2只要证a+b>要证(2),只要证a+b->0要证(3),只要证显然，(4)是成立的。当且仅当沪b时，(4)中的等号成立。3丿理解基本不等式亦=¥的几何意义探究：课本第110页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=
6、a,BC=bo过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式版《乎的几何解释吗?易证Rt'ACMRt'DCB,那么CB即CD=4ab.这个圆的半径为凹，显然，它大于或等于切，即亦，其中当且仅当点Q与22圆心重合，即a=b时，等号成立.因此：基本不等式陌<凹几何意义是“半径不小于半弦”2评述：1.如果把®看作是正数曰、b的等差中项，J亦看作是正数念b的等比中项，2那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2•在数学中，我们称畔为乐b的算术平均数，称丘为a、b的几何
7、平均数.本2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.［补充例题］例1已知儿y都是正数，求证：⑴丄+兰丸*y(2)(x+y)Cx+y)(/+b)$8汐分析：在运用定理：->4ob时，注意条件爲、b均为正数，结合不等式的性质(把2握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：Vx,y都是正数/.—>0,—>0,/>0,y>0,x>0,y>0yx⑴兰+达2丽=2即兰+』M2.yxyy%y兀(2)x+y^2y/xy>0x+y^2^x2y2>0x+y^2^x3y3>0・・・(x+刃(#+b)(x+y)M
8、2历・2^x2y2・2』x"=8汐即(％+y)(/+y)(/+y)・3•随堂练习1•已知日、b、c都是正数，求证($+方)(b+c)(c+a)8abc分析：对于此类题目，选择定理：纟Jn亦(a>0,b>0)灵活变形，可求得结2果.解:Va,b,c都是正数J.a+b^2y[ab>0b+&2顷>0/.（a+Z?）（b+c）（c+a）^2y[ab・14bc•2V^c=8abc即（a+b）（方+c）（c+a
