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1、数值分析上机题一、城市水管应埋于地下多深1、问题背景在冬季寒冷的大城市，必须保证埋于地下的水管不冻结。在寒冷季节，地面土壤的温度很低，而越深入地下温度越高。因此，水管应该埋得越深越好。但相应的施T难度及成本也越大。问：在保证水管不冻结，埋水管的深度如何确定。2、建模由于土壤的热传导作用，冬季寒流到來后，地下土壤的温度会逐渐降低，因此，它既是深度X,也是时间t的函数。经仔细分析，有如下方程：器=曲2冷)说明:T(x,t):土壤温度函数，x为深度，t为吋间。Ti:寒流到来前的正常土壤温度Ts:寒流季节的地面温度2erf(x)=-^=^e~ld
2、ta:土壤热传导系数x:土壤深度t:寒流持续时间易知，方程左端为0到1之间，t二0时值为1,x二0时值为0要确定最合适的深度，可假设寒冷最长吋间为5由于0°C为结冰温度，则T(x,t)二0对度的x为所求。于是有：TpipeM三Tgm）=Ts+⑺—以）£声（血）=03、求解条件a=0.138eW6m2/5,7]=20叱，兀=_15叱，tm=60二、Google的PageRank算法1、问题背景互联网(internet)的使用已经深入到人们的日常生活中，其巨大的信息量和强大的功能给生产、生活带来了很大的便利。随着网络信息量越来越宠大，如何有效
3、地搜索出用户真正需要的信息变得十分重要。口1998年搜索引擎网站Google创立以来，网络搜索引擎成为解决上述问题的主要手段。1998年，美国斯坦福大学的博士生LarryPage和SergeyBrin创立了Google公司，他们的核心技术就是通过PageRank技术对海量的网页进行重要性分析。该技术利用网页相互链接的关系对网页进行组织，确定出每个网页的重要级别(PageRank)。当用户进行搜索时，Google找出符合搜索要求的网页，并按他们的PageRank大小依次列出。这样，用户一般在显示结果的第一页或者前几页就能找到真正有用的结果。
4、PageRank技术的基本原理是：如果网贝A链接到网页B,则认为“网页A投了网页B—票”，而且如果网页A是级别高的网页，则网页B的级别也相应地高。2、数学建模假设n是Internet中所有可访问网页的数目，此数值非常大，在2010年已接近100亿。定义nxn的网页连接矩阵G=（gij）,若从网页j有一个链接到网页i,则gij=l,否则gij=0o矩阵G有如下特点:（1）G矩阵是大规模稀疏矩阵；（2）第j列非零元素，表示了从网页j链接出去的所有网页；（3）第i行非零元素，表示了链接到网页i的所有网页；（4）G屮非零元素的数目为整个Inter
5、net川存在的超链接的数量；（5）记G矩阵行元素之和r]=》gij,它表示第i个网页的“入度”;j（6）记G矩阵列元素之和勺=》g「它表示第j个网页的“出度”。I要计算PageRank,可假设一个随机上网“冲浪”的过程，即每次看完当前网页后，有两种选择：（1）在当前网页中随机选一个超链接进入下一个网页；（2）随机地新开一个网页。这在数学上称为马尔可夫过程，若这样的随机“冲浪”一直进行下去，某个网页被访问到的极限概率就是它的PageRanko设p为选择当前网页上链接的概率（比如，p=0.85）,则l・p为不选当前网页的链接而随机打开一个网页
6、的概率。若当前网页是网页j,则如何计算下一步浏览到达网页i的概率（网页j到i的转移概率）？它有两种可能性：（1）若网页i在网页j的链接上，其概率为pxl/cj+Cl-p）x1/n；（2）若网页i不在网页j的链接上，其概率为（l-p）x1/n由于网页i是否在网页j的链接上由g.j决定，网页j到i的转移概率为：勺p)・£+(l—P)•小晋+乎应注意到的是，若Cj=O意味着gjj=O,上式改为aij=l/no任意两个网页之间的转移概率形成了一个转移矩阵A=扁)，设矩阵D为各个网页出度的倒数(若没有出度，设为1)构成的n阶对角阵，e为全是1的n维
7、向量，贝IJ:A=pGD+^-eq设xki=1,2,・・异表示某时刻k浏览网页i的概率=1),向量表示当前时刻浏览各网页的概率分布。那么下叩寸刻浏览到网页i的概率为士€1护屮,此时浏览各网页的概率分布为x(k+1)=Ax(k)./=>当这个过程无限进行下去，达到极限情况，即网页访问概率乂⑴收敛到一个极限值，这个极限向量x为各网页的PageRank,它满足Ax=x,n且£坷=1i=l3、计算PageRank
