高中数学第二章函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法学习导航学案

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1、2.1.1函数-2.1.2函数的表示方法自主整理1.函数的概念设集合A是一个非空的数集,对A内任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数值y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量的取值范围A叫做函数的定义域;如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称作函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y

2、x=a.所有函数值构成的集合{y

3、y=f(x),x∈A}叫做函数的值域.2.两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f.当且仅当两

4、个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.3.区间(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x

5、a≤x≤b}闭区间［a,b］{x

6、a

7、a≤x

8、a

9、x≥a}［a,+∞){x

10、x>a}(a

11、,+∞){x

12、x≤a}(-∞,a］{x

13、x

14、过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法;9(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表达函数的方法叫做解析法(也称公式法).6.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同的取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)”中的“f”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,是一个数,

15、而不是f乘x.2.对应法则可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射.A到B的映射与B到A的映射是截然不同的.4.区间和数轴是紧密联系在一起的,在识别和使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值的取舍是很容易出错的地方,一定要准确判断是该用小括号还

16、是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点和空心点的区别.对于某些不能用区间表示的集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内的每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般的函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数的画法要领是根据各段上的函数解析式,分段画出各段的图象.6.若y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域与(m

17、,n)的交集.名师解惑1.如何理解构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域?求值域有几种常用的方法?剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习的重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量

18、x的实际意义.(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质或抓住函数的单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点和不足？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间