2019-2020年高二数学排列、组合的混合应用题 人教版

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1、2019-2020年高二数学排列、组合的混合应用题人教版【教学内容】1、组合、组合数公式；2、组合数的两个性质；3、排列组合的混合应用题。【教学目标】使学生能够正确地理解组合的概念，理解并掌握组合数的两个公式，同时能运用公式计算和证明一些组合问题和组合恒等式；能够正确的理解组合数的两个重要性质，并能比较熟练地运用这两个性质来证明一些恒等式；能够比较熟练地区分排列与组合，并能熟练地解决一些常见的排列组合混合应用题。【知识讲解】1、组合、组合数的概念从n个不同元素中任取m个元素（m≤n）把它并成一组叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，这与排列有一定的区别，排列是将m个元素取出后按一定

2、的顺序排成一列称之为一个排列，也就是说，元素相同，组合只有一个，而排列的顺序不同，就是不同的排列。只有当元素相同，而且排列的顺序也相同时，才是相同的排列。而组合只要元素相同，不管排的顺序如何，都是同一个组合，只有两个组合中的元素不全相同时，才是不同的组合。从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。记作。，所以2、组合数的两个性质：（1）它的实际意义是：从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，与从n个不同元素中取出n－m个元素的组合数是一样多的，因而在计算时，当时，通常把它变形为后计算，就比较简便。（2）它的实际意义是：从n+1个不同元

3、素a1，a2，a3，……，an+1中取出m+1个元素的组合数，可理解为两类组合数的和。一类是含某一特定元素a1的，就从剩下的n个元素中取出m个元素的组合数；另一类是不含某一特定元素a1的，就从剩下的n个元素中取出m+1个元素的组合数。利用这个性质可以把符合条件的两个组合并成一个组合；也可以逆过来使用，把一个组合写成两个组合的和或差，即：或或为了正确、灵活使用这些公式，必须注意它们的结构特点。3、解排列、组合的应用题，像解其它数学题一样，首先要认真审题，分析如下三个问题：（1）问题中的n个元素指的是什么？（2）这里的m个元素又是指什么？（3）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素后每种情况

4、对应着什么事？通过上述三个问题的分析，根据“有序”和“无序”判断这题属于排列问题还是组合问题，然后求出排列个数或组合个数。例1.计算：（1）；（2）解：（1）原式（2）说明：在计算时，要充分利用组合的两个性质，以及阶乘的公式，同时不要一见到组合数和排列数就求出它们的值，而要注意观察，尽可能在计算过程中提取公因数，以减少计算量，减少错误。例2.（1）已知，，求m和n的值；（2）已知，求x的值。解：（1）∵∴∴m=2由得n(n－1)=342即n2－n－342=0∴n=19（2）由得：x+2=2x或x+2+2x=17∴x=2或x=5例3.解不等式：解：∵∴∵x+1≥3∴x≥2∴x－1＜∴x＜又

5、x∈Z，∴x=2，3，4，5。例4.平面上有10个点，其中没有三点共线，以这10个点中的三个点作为三角形的顶点，一共可以得到多少个三角形？分析：因为这10个点中无三点共线，所以其中任意三个点作为顶点，都可以得到并且只能得到一个三角形，又由于对一个三角形来说，顶点之间无顺序关系，所以是组合问题。因此问题归结为求从10个不同的元素中任取3个元素的组合数，即。解：（个）。答：一共可以得到120个三角形。说明：为了搞清楚排列问题与组合问题的关系，我们把一些内容类似而一个用排列，一个用组合解的问题放在一起，以便分析对比，从而提高识别能力。（1）某小组12个人每两人（1）某小组12个人每两个人互通了

6、一封信，共通了多少封信？互通了一次电话，共通了多少次电话？（2）从某小组10个人中选（2）从某小组10个人中选2名1名正组长和一名副组长，共有代表参加年级的学生代表会，共有多多少种不同的选法？少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，（3）有2，3，5，11，13，17，1917，19八个质数，从中任取两个数八个质数，从中任取两个数求它们的求它们的商，可以得到多少个不同积，可以得到多少个不同的积？的商？（4）有8盆花，从中选出2盆（4）有8盆花，从中选出2盆放分别给甲、乙两人每人一盆，有多在教室，有多少种不同的选法？少种不同的选法？例5.有6个工人，在如下各种情况下，分别有多少

7、种不同的分法？（1）3人一组，平分到甲、乙两车间去；（2）平均分配到两车间去干车、铣、电3种不同的工种；（3）3人一组分为两组；（4）一个车间分3人，一个车间分2人，一个车间分1人。解：（1）6个工人中分配3人去甲车间，剩下的3个人就是分配到乙车间，因此分配方法一共有：（种）答：共有20种不同的分配方法。（2）先将6个工人平均分配到两个车间，共有种分配方法，每个车间再分配车、铣、电3种不同的工种又有种，因而分法共有：（种）答：共有7