2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式2学案新人教A版选修

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1、2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式2学案新人教A版选修[学习目标]1．能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题．2．能解决有限制条件的组合问题．[知识链接]1．满足什么条件的两个组合是相同的组合？答　如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同)．2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？答　在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式C＝常用于n为具体自然数的题目．一般偏向于组合数的计算．公式C＝常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明．[预

2、习导引]1．组合的有关概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合数，用符号C表示．其公式为C＝＝＝(n，m∈N*，m≤n)．特别地C＝C＝1.2．组合应用题的解法(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答．(2)有限制条件的组合应用题的解法常用解法有：直接法、间接法．可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.要点一　分组、分配问题例1　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三

3、人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解　(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，

4、所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CCCA＝360种方法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．规律方法　“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益．分清是分组问题还是分配问题是很关键

5、的．(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．跟踪演练1　有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有多少种放法？(2)恰有1个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？解　(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知

6、，放法共有44＝256(种)．(2)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2、1、1的三组，有C种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法C·C·C·A＝144(种)．(3)“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒．因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．(4)先从4个盒子中任意拿走2个，有C种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？

7、”，从放球数目看，可分为(3，1)，(2，2)两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C·C种放法；第2类，有C种放法．因此共有C·C＋C＝14(种)．由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有C×14＝84(种)．要点二　与几何图形有关的组合问题例2　已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解　(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C·C个．②α

8、内2点，β