知识点142 换元法解分式方程(解答)

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1、1、（2010•苏州）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解

2、题技巧．2、（2010•嘉兴）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式

3、方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•苏州）解方程：精选范本,供参考！考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁

4、为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•上海）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：本题考查解分式方程的能力，观察分式因为与互为倒数，所以可根据方程特点选择换元法进行解方程，同时又可用常用方法：去分母方法进行解方程．解答：解：方法一：设，则原方程化为，整理得2y2﹣5y+2=0，∴y1=，y2=2，当y=时，，解得：x=2；当y=2时，，解得：x=﹣1．经检验x1=2，x2=﹣1是原方

5、程的根；方法二：去分母得2（x﹣1）2+2x2=5x（x﹣1），整理得x2﹣x﹣2=0，精选范本,供参考！解得x1=2，x2=﹣1，经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根．点评：解方程时要注意根据方程特点选择合适的方法，达到灵活技巧解题的效果．5、（2008•乐山）解方程：x2﹣=2x﹣1考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：运用换元法，设y=x2﹣2x，降次求方程的解．解答：解：设y=x2﹣2x，则原方程变为：，即y2+y﹣12=0，得（y﹣3）（y+4）=0，解得：y=3或y=﹣4，当y=

6、3时，x2﹣2x=3，（x﹣3）（x+1）=0，解得x1=3，x2=﹣1，当y=﹣4时，x2﹣2x=﹣4，∵△=﹣12＜0，∴此方程无解．经检验，x1=3，x2=﹣1都是原方程的根．点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．6、（2007•包头）解分式方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：计算题；换元法。分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．∵∴可设y=．把y代入原方程，转化为整式方程求解．解答：解：设，原方程化为y2﹣y

7、+3=0，解得y1=2，，当y=2时，，解得x=﹣1．当时，，解得x=﹣2．经检验x1=﹣1，x2=﹣2都是原方程的根．点评：精选范本,供参考！当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．本题应注意：最后需代入y=求得x的值，再验根．7、（2006•湛江）用换元法解方程：x2+3x﹣=﹣1．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。专题：换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，观察可得方程若直接去分母会很麻烦，涉及到的计算量会很大，因此可设x2+3x=y，将原方程变形整理为y﹣=﹣1，即：y2+y﹣20=0，

8、求得y的值，然后再去解一元二次方程即可求得x的值．解答：解：设x2+3x=y，则原方程变形为y﹣=﹣1，即y2+y﹣20=0，解得y1=﹣5，y2=4．当y=﹣5时，x2+3x=﹣5，即x2+3x+5=0，∵△=32﹣4