2018-2019高中数学第1章常用逻辑用语1.3.1量词学案苏教版选修2

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1、1.3.1　量　词学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一　全称量词、全称命题思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．答案　(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．

2、梳理　全称量词与全称命题全称量词所有、任意、一切、每一个符号∀x全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”知识点二　存在量词、存在性命题思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m∈Z，m>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案　(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对

3、某个”“有的”等．梳理　存在量词与存在性命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃x存在性命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”特别提醒：在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词．(×)类型一　判断命题的类型例1　将下列命题用“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2

4、＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.考点　量词与命题题点　全称(存在性)命题的符号表示解　(1)∀x∈R，x2≥0.(2)∃x＜0，ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.反思与感悟　判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤(1)判断此语句是否为命题．(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词．(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)若a＞0且a≠1，则对任意x，ax＞0；(2)对任意实

5、数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)存在实数T，使得

6、sin(x＋T)

7、＝

8、sinx

9、；(4)存在实数x，使得x2＋1＜0.解　(1)，(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)，(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．类型二　判断命题的真假例2　判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，x2－x＋1＞；(2)∃α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．考点　全称(存在性)命题的真假性判断题点　全称(存在性)命

10、题真假的判断解　(1)真命题，∵x2－x＋1－＝x2－x＋＝2＋≥＞0，∴x2－x＋1＞恒成立．(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．反思与感悟　1.要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．2．要判定存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到

11、一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2　判断下列命题的真假．(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x∈R,2x2＋x＋1<0；(3)∀x∈R，sinx＋cosx≤.考点　全称(存在性)命题的真假性判断题点　全称(存在性)命题真假的判断解　(1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵s