2018年秋高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数学案 新人教A版选修1 -1

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1、3.3.1　函数的单调性与导数学习目标：1.理解函数的单调性与导数的关系．(重点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)3.能根据函数的单调性求参数．(难点)[自主预习·探新知]1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减思考：若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)>0这个说法正确吗？[提示]　不正确，应该是f′(x)≥0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数

2、y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)[基础自测]1．思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)(3)函数值在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)(4)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在此区间上单调递增的充要条件．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．函数y＝x3＋x的单调递增区间为(　

3、　)A．(0，＋∞)　　　　B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)D　[y′＝3x2＋1>0，故选D.]3．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　)【导学号：97792146】A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定A　[由f′(x)>0知函数f(x)在区间(a，b)内是增函数，且f(a)≥0，故f(x)>0.][合作探究·攻重难]函数的单调性与单调区间　(1)函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递减区间为__________．(2)设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)，讨论f(x

4、)的单调性．[思路探究]　(1)求f′(x)⇒解不等式f′(x)<0(2)求f′(x)⇒根据a的取值判断f′(x)的正负号．[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝6x－＝令f′(x)<0，即<0，解得－0，故0

5、a

6、≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0.在(

7、0，＋∞)上，f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝.当00；当x1x2时，f′(x)>0.故f(x)分别在，上单调递增，在上单调递减．[规律方法]　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．[跟踪训练]1．(1)函数y＝x3－x2－x的单调递增

8、区间为(　　)A.和(1，＋∞)B.C.∪(1，＋∞)D.A　[y′＝3x2－2x－1，令y′>0，得x<－或x>1，所以函数的单调递增区间为和(1，＋∞)，故选A.](2)讨论函数f(x)＝x2＋alnx(a∈R，a≠0)的单调性．[解]　函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋.①当a＞0时，f′(x)＝x＋＞0恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，由f′(x)＝x＋＞0，得x＞；由f′(x)＝x＋＜0，得0＜x＜，所以当a＜0时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是(0，)．综上，当a＞0时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单

9、调递减区间；当a＜0时，单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．导数与函数图象的关系　(1)f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图331所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)图331(2)已知函数y＝f(x)的图象如图332所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的(　　)【导学号：97792147】图332[解析]　(1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0,2)

10、(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(－