通用版2019版高考数学（文）二轮复习讲义：难点自选专题四　“函数与导数”压轴大题的抢分策略（含解析）

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1、难点自选专题四　“函数与导数”压轴大题的抢分策略[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018利用导数研究函数的单调性、不等式的证明·T21函数的单调性与导数、函数零点的证明·T21导数的几何意义、不等式的证明·T212017函数的单调性与导数、导数与函数的最值·T21函数的单调性与导数·T21利用导数研究函数的单调性、最值·T212016利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题·T21导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性·T20利用导数研究函数的单调性、不等式的证明·T21导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常

2、见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值．考法·策略(一)　利用分类讨论思想探究函数的性质[典例]　设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．[解]　(1)由f′(x)＝lnx－2ax＋2a，可得g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．所以g′(x)＝－2a＝.当a≤0，x∈(0，＋

3、∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f′(1)＝0.①当a≤0时，f′(x)单调递增，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈时

4、，f′(x)＞0.所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．③当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．④当a＞时，0＜＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a的取值范围为.[题后悟通]分类讨论思想解决有关函数性质问题的策略(1)何时讨论参数？在求解中，若参数的取值影响所求结果，就要分类讨论．如本例

5、(1)中由g′(x)＝确定单调区间时，对a的取值要分类讨论．(2)如何讨论参数？解答此类问题的关键是如何分类，分类时要结合题目条件，对参数取值范围进行划分，进而研究其问题．如本例(2)中分类的依据是与1的大小比较．[应用体验]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f′(x)＝0，

6、得x＝或x＝.当x∈∪时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．(2)证明：由(1)知，当且仅当a>2时，f(x)存在两个极值点．由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11.由于＝－－1＋a·＝－2＋a·＝－2＋a·，所以

7、究函数的零点问题[典例]　函数f(x)＝ax＋xlnx在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．[解]　(1)由题意知，f′(x)＝a＋lnx＋1(x>0)，f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0