探究函数列收敛的方法与技巧

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1、探究函数列收敛的方法与技巧摘要：收敛与一致收敛在整个数学分析中既是重点也是难点，尤其是一致收敛。它使极限与求导、积分运算可以相互交换运算次序，简化运算的过程。因此判定函数列的一致收敛性以及熟练掌握函数列收敛方法与技巧非常重要。本篇论文在阅读大量相关文献的基础上系统的总结了收敛的几个定义和一致收敛性判定的方法与技。关键词：函数列；收敛；一致收敛一、函数与数列收敛的概念(-)函数列收敛的定义定义1・2设函数列｛/„(%)｝每项九(兀)及函数/(兀)均在数集E上有定义.若Vxg£,函数列｛/„(%)｝收敛于/(x),即：Vxe£,则函数列｛//%)｝在E上收敛

2、于/(x),并称函数/(兀)是函数列｛/„(%)｝的极限函数.定义1.3用s-N语言描述就是：设｛//%)｝与几兀)在数集E上均有定义.对每个固定的xeE，任给止数£，恒存在止整数山使得当n>N时，总有fn(^-f(x)<£・则函数列｛/„(%)｝在E上收敛于/(%),并称函数于(兀)是函数列｛AW｝的极限函数.HP：lim/n(x)=/U)・可以看到函数列｛//%)｝的收敛问题不仅要考虑函数列£(力趋向，还要考虑极限函数/(%),因此函数列的收敛就要比实数列收敛复杂，也更有广泛的意义.但是它们研究的都是“too时，序列的变化趋势，例如时，代入函数列

3、｛£")｝,就可以得到数列：/,(兀())/(兀。)，•••£(兀())，…,这时考虑其收敛性就是数列的收敛问题了.函数列｛/„(%)｝在数集E上每一点都收敛，也就是点态收敛•它反映了｛//%)｝收敛的局部性质，对于函数列，我们不仅要讨论它在哪点上收敛，而且更重要的是研究整休性质和极限函数所具有的性质；例如：如果函数列｛/„«｝的每一项都具有某种性质(如可微性，连续性，可积性等)，那么极限函数是否也具有同样的性质，对于这个问题的研究，只要求函数列在数集上收敛是不够的.有时收敛性不能保证极限函数连续性.例如:①.fn(x)=xn9当兀vl时,/(x)=0,

4、而/⑴=1(在兀=1处不连续).%1•九(兀)=_,当兀〉0时，/(%)=0,而/(0)=1(在x=0处不连续).1+nx%1.£(兀)=,对于所有的兀，有/(x)=0(处处连续)・1+/TJT其屮每一题屮数集E都为［0,1］.这时我们对收敛问题提岀更高的要求，才能保证极限函数的分析性质成立.数学分析屮最常用的一个方法就是由九(兀)的性质推出函数/⑴的性质，收敛不足以胜任这个任务，那就要求我们必须给出一个更强的概念，即一致收敛的概念，那就是如下的定义(二)函数列一致收敛的定义定义1・4山设函数列｛/„(%)｝与函数/(切定义在同一数/(切集D上，若对任给

5、的正数G总存在某一正整数N,使得当〃>N吋，对一•切的兀已。，都有IA(x)-/(x)l<^则称函数列｛/„(%)｝在D上一-致收敛记作：fnM=>/W(n^oo),xeD.注1：定义1・3中对毎个固定xeE,根据给定£找这样找出W不仅与E冇关，一般来说且与xeE的取值冇关.但在定义1・4中，MVxgE,对于所给的&不管数集E上那一点兀，总可以找到一个公共N閒,N仅与£有关，而与兀的取值无关,只要n>N时,都Wfn(%)-/(x)

6、<£.注2：可以看到定义1.4成立可以推出定义1.3成立，但反Z不成立.例如：九⑴=兀"在［0,1］上点态收敛于/(x)=

7、0(J

8、AW-/(x)

9、=su-/(x)

10、=supr"=l不趋近于0(/7too),即：.九⑴在［0,1］上不一致收敛于/(x).V又如:AU)=—f在(-卩+切上一致收敛于0.1+72*Y11因为九(兀)=在(Y),+OO)上的最大值是最小值是,因此1+zT对2nInY1/,(x)-0=sup=tO(/?too),所以fn(x)—致收敛与/(x),1+心2nxe(-00,+8).定义1.5设｛/„«｝在数集E上一•致收敛于/(x),则其任一子函数列｛九⑴｝均在E上一•致收敛Tf(x).二、函数与数列收敛的判别(三)函数条件下

11、数列的收敛性