高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课后导练新人教选修

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1、4.2用数学归纳法证明不等式课后导练基础达标1利用数学归纳法证明不等式“

2、不等式两边加上（）A.B.C.D.答案：C4欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2n>n3,n0为验证的第一个值，则（）A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n0≥10D.n0=2答案：C5已知Sk=(k=1,2,3，…),则Sk+1等于（）A.Sk+B.Sk+C.Sk+D.Sk+答案：C综合运用6证明不等式1+(n∈N).证明：1°当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右边.不等式成立.2°假设当n=k时，不等式成立，即1+,则当n=k+1时,1+(现在关键证明).∵=(基本不等式放缩)==0,∴,即

3、当n=k+1时,原不等式成立，由1°、2°,可知对任意n∈N,原不等式成立.7设n>1,n∈N,证明>1.证明：1°当n=2时，左边=>1,不等式成立;2°假设当n=k(k≥2)时，原不等式成立，即>1,则当n=k+1时,左边比n=k时增添了>0(k≥2).故当n=k+1时，不等式成立.由1°，2°,可知对任意n∈N,n≥1，原不等式成立.8已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n>1且n∈N时，试证明an+cn>2bn.证明：（1）当n=2时，∵a2+c2>2()2=2b2,即命题成立.（2）设当n=k(k≥2)时，有

4、ak+ck>2bk.由于a,c为正数，所以(ak-ck)与a-c同号，即（ak-ck）(a-c)>0,亦即ak+1+ck+1>akc+ack,∴ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)>(ak+1+ck+1+akc+ack)=(ak+ck)(a+c)=(ak+ck)b>2bk+1,即n=k+1时成立.由（1）、（2）,知对于n>1且n∈N时命题成立.拓展探究9已知x1>0,x1≠1且xn+1=(n=1,2,3,…)，试证：数列{xn}或者对任意n∈N都满足xn

5、>xn+1.证明：由于xn+1-xn=-xn=且x1>0,又由题设可知对任意n∈N,有xn>0,故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x1<1与x1>1两种情况讨论.（1）若x1<1,用数归纳法证明1-xn2>0.1°当n=1时，1-x12>0成立.2°假设当n=k时，1-xk2>0成立，则当n=k+1时，1-xk+12=1-［］2=>0，即当n=k+1时，有1-xk+12>0成立.故对任意n∈N,都有1-xn2>0,∴对任意n∈N,有xn+1>xn.(2)若x1>1，同样可证，对任意n∈N,1-xn2<0,此时有xn

6、+11.证明：用数学归纳法.当n=3时，>1,命题成立.根据归纳假设，当n=k(k≥3)时，命题成立，即>1.①要证明n=k+1时，命题也成立，即>1.②要用①来证明②，事实上，对不等式①两边乘以,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证明>1.③因为（k+1）2k+2=(k2+2k+1)k+1>(k2+2k)k+1,这就证明了③式.由①②③知对于n≥3,n∈N,命题成立.11设0

7、<.证明：用数学归纳法.当n=1时，a1>1,又a1=1+a<,显然命题成立.假设当n=k时，命题成立，即1(1-a)+a=1,同时，ak+1=+a<1+a=<,这就证明了②.12设数列{an}满足a1=2,an+1=an+,(n=1,2,3,…)(1)证明an>对一切正整数n都成立；(2)令bn=（n=1,2,3…）,判定bn与bn+1的大小，并说明理由.证明：（1）当n=1时，a1=2>,不等式成立.假

8、设n=k时，ak>成立.当n=k+1时，ak+12=ak2++2>2k+3+>2(k+1)+1.∴n=k+1时，ak+1>成立.综上，由数学归纳法可知an>对一切正整数n成立.（2）=(1+)<(1+)·<1.故bn+1