2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线学案（含解析）新人教B版选修2-1

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1、§2.5　直线与圆锥曲线学习目标　1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者

2、相交a≠0，Δ>02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ<00相离知识点二　弦长公式若直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长

3、AB

4、＝

5、x2－x1

6、＝.1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．(　×　)2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．(　√　)题型一　直线与圆锥曲线的位置关系判定例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？解　直线l的方程与椭圆C的方

7、程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③这个关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)由Δ>0，得－33.从而当m<－3或m>3时

8、，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．反思感悟　在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．跟踪训练1　已知双曲线C：x2－＝1，直线l的斜率为k且直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？解　设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k)．由得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.(*)当k2－2＝0，即k＝±时，(*)式只有一解，直线l

9、与双曲线相交，只有一个公共点．当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，若Δ＝0，即k＝，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k<且k≠±，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k>，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k＝±或k＝时，直线l与双曲线只有一个公共点；(2)当k<且k≠±时，直线l与双曲线有两个公共点；(3)当k>时，直线l与双曲线无公共点．题型二　中点弦及弦长问题例2　已知点A(－1,0)，B(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且kMA·kMB＝－2.(1)求点M的轨

10、迹C的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且

11、PQ

12、＝，求直线PQ的方程．解　(1)设M(x，y)，则kMA＝，kMB＝(x≠±1)，∴×＝－2，∴x2＋＝1(x≠±1)．(2)当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1－y2＝k(x1－x2)，联立消去y得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.∵Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0，∴k∈R，x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴

13、PQ

14、＝＝＝2·，

15、∴

16、PQ

17、＝＝2·，k2＝2，k＝±，∴直线PQ的方程是y±x－1＝0.反思感悟　直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．跟踪训练2　中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x＋y－1＝0相交于A，B，C是AB中点，若

18、AB

19、＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．解　设椭圆方程为ax2＋by2＝1(a>0，b>0，a≠b)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，a(x1＋x2)(x1－x2)＋b

20、(y1＋y2)(y1－y2)＝0，而＝－1，＝kOC＝，代入上式可得b＝a，再由

21、AB

22、＝

23、x2－x1

24、＝2，其中x1，x