线形方程组的解及其应用

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1、编号：08005110107南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：线性方程组的解及其应用完成人：秦玉鹏班级：2008-01学制：4年专业：数学与应用数学指导教师：马淑云完成日期：2011-04-12目录摘要（1）0引言（1）1线性方程组解的结构（1）2线性方程组的解法及相关结论（4）2.1线性方程组的解法（4）2.1.1线性方程组的个数和未知量的个数相等（4）2.1.2线性方程组的个数和未知量的个数不相等（6）2.2线性方程组解得的几个结论（10）3线性方程组解的应用（11）3.1在矩阵理论中的应用（12）3.2在多项式理论中的应

2、用（12）3.3在欧氏空间上的应用（12）3.4在解空间理论上的应用（13）参考文献（14）Abstract（14）线性方程组的解及其应用作者：秦玉鹏指导教师：马淑云摘要：介绍线性方程组解的结构及其几种解法，如初等行变换法，初等列变换法等，通过对线性方程的解法的探讨，揭示了线性方程组的求解规律，并在此基础上研究了它的应用.关键词：线性方程组，解的结构，初等行变换法，应用0引言线性方程组是高等代数或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置，学好线性方程组基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要，对于线性方程组的初

3、等解法，既是线性方程组理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法解题.1线性方程组解的结构定理1[1]设是一个矩阵，,是满足的两矩阵，令.(ⅰ)是的一基础解系；(ⅱ)方程组（*）有解的充分必要条件是；第13页(共14页)(ⅲ)若方程组（*）有解，则（*）的解的集合.证明(ⅰ)因为，于是===,其中，为中前列组成的矩阵，于是有中前列,即,又线性无关，所以(ⅰ)成立.(ⅱ)令.有上述定理知，方程组（*）有解当且仅当方程组（1)有解，并且是（*）的解当

4、且仅当是（1）的解，显然方程组（1）有解当且仅当后的行为，即.(ⅲ)若（*）有解，即，则，，取显然是（1）的解，故第13页(共14页)是方程组（*）的解.因此，方程组（*）的解集合为.上述命题给出了方程组（*）的可解性和解的结构与之间的关系。有趣的是从命题中还可看出，不但矩阵的后列是相应齐次方程组的一基础解系，而且的前列的一个线性组合.于是方程组（*）的解集合是矩阵的列空间的一个子集.特别当系数矩阵固定时，上述定理给出了一个任意列向量求解方程的通用公式.求线性方程组的步骤：第一步求出可逆矩阵,使第13页(共14页)；第二步检验的后行是否为零.

5、第三步若（*）有解令，则写出（*）的通解2线性方程组的解法及相关结论恰当分类线性方程组，可以快速求出线性方程组的解，而在求解和探讨过程中，又能得到一些非常重要的相关结论。2.1线性方程组的解法2.1.1线性方程组的个数和未知量的个数相等现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题，在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形.以后会看到，这是一个重要的情形.克拉默法则如果线性方程组（1）的系数矩阵第13页(共14页)（2）的行列式，那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中是把矩阵A中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式

6、.例1[2]用克拉默法则求解线性方程组解方程的系数行列式，而，从而由克拉默法则知，同理可得第13页(共14页)下面介绍齐次线性方程组的解的方法，齐次线性方程组是指常数项全为零的线性方程组.定理2[2]如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式那么它只有零解，即如果上述方程组有非零解，那么必有.例2[2]求在什么条件下，方程组有非零解.解如果方程组有非零解，那么系数行列式所以.不难验证，当时，方程组确有非零解.2.1.2线性方程组的个数和未知量的个数不相等介绍了方程组的个数和未知量的个数相等的情形，下面来探讨一般的情形.（线性方程组有解判定定理）线性

7、方程组（1）第13页(共14页)有解充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.则有以下结论：(ⅰ)若秩秩，则方程组（1）无解；(ⅱ)若秩秩，则方程组（1）有唯一解；(ⅲ)若秩秩<,则方程组（1）有其中一组自由未知量.以下是针对上述三种情形的三个举例：例3[3]解线性方程组第13页(共14页)解对增广矩阵作初等变换，可得因此秩秩，线性方程组无解.例4[3]解线性方程组解对增广矩阵作初等变换，可得所以秩=秩=4，线性方程组的解为第13页(共14页)例5[3]解线性方程组解对增广矩阵作初等变换，可得所以秩=秩=3<4，所以方程组的一般解为其中

8、是自由未知量.2.2线性方程组解的几个结论利用矩阵理论讨论线性方程组的解及解的结构问题是代数中常用的方法。但利用线性方程组的解来推导矩阵的一些结论却不常见，第13页