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1、年月广西师院学报自然科学版第一卷第,期差分方程组的解及其应用、石刚广西师范学院数学系,南宁市,摘要该文利用求特征方程的特征根的方法讨论形如,‘,,,,,,一艺又罗十,一、一⋯二,的常系数齐次差分方程组的求解问题给出了求出的一般表达式及其所满足,。的差分方程的一个简便方法并用来求解几个计数问题关键词差分方程组特征根计数己食二二二,,,元序列卜⋯如果满足,,,,习,一云矛了,一,,,,‘,花尹习姜,一习梦了一吕一⋯⋯,,‘。’‘、,一云嵘,一习慧,一⋯习架则称式为元常系数线性齐次差分方程组。,‘,,,,
2、,,,。其中心一⋯,挤一⋯川为常数、,,,乞一,,一些计数问题往往会归结为求方程组的解因此解方程组即求出,二,。⋯的一般表达式在计数理论上是个重要的间题,‘本文利用求特征方程的特征根的方法给出了的一般解及求出差分式的一般方。,,,,法一般来说特征方程往往是高次方程要求出特征根仍是很困难的而从的差分式求‘,,出的一般解很多文献都有介绍一个比较好的结果是钟集在〔」中给出的引理设有常系数线性齐次差分方程一了,,,一‘一了‘习诊一为常数,￡,,,,尹一及初始条件一了,一。,‘一,,则艺其中,一〔七一习间,一
3、卜,,,⋯,尹一一一收稿日期··广西师院学报自然科学版第卷。,十,一,,”二’⋯一习,,·一无,一一与戮,一⋯‘,。下面给出由式直接求出的一个简便方法并用来求解几个计数间题常系数差分方程组的解为叙述方便,引入记号百‘“川梦一可盆“’姚梦·⋯貂歹‘,一‘’一⋯全」界忿拐⋯黑为二阶方阵,为元列向量,式可改写为,尹一」尹一升尹一月,升十⋯分一万一’,万一,一,,定义称一⋯从十为差分方程组的特征多,一,,,义。项式称为的特征方程其根称为特征根其中为单位矩阵一厂又共,久定理。护是的解的充要条件是是特征方程·刀
4、尸一,,万一⋯朋,一,的根一证明必要性把尸伽一刀代入式得刃月,厂一’月,一刀,,刃⋯因久共,消去厂,得刀“一刀一‘⋯,二,脉万一一’,一〕久,即〔刃⋯因为向量祥,必有万一’,一,刀写一⋯久一,一,刀一’,一久,一,,充分隆若脚⋯则对任意非零向量齐次纷比方程组万。月分一’,一,,一⋯久〕有非零解,即有万一万一’,一“,⋯朋两边乘以非零数厂,整理得刃,月刀,一’月,一,刀’,”⋯刀“此式表示伽一是的解,,￡,,。争定理设从︸,川是的个互不相同的特征根则,一习火,,,。二伪,,。是的通解其中⋯尹是任意常数
5、一⋯编丫是。元非零列向量第期石刚差分方程组的解及其应用··证明因为入是的特征根由定理,入是的解,所以有刀,一刀尸一‘,’,一片,“⋯刀‘,。两边乘以取和式,。价刀十,一’,,。。刃,。云犷一艺十⋯艺,。,一“’云伏是式的解下面证明的任一解均可以表为的形式。为此只需证明中满足初始条件的解唯一。为方便,只证中的,,一习价咫满足初始条件。,、,,尹一二,一,⋯的解是唯一的。其它情形同样证明。因为范德蒙行列式‘曰主侧今栩凡蜡洲石,礼挤入一匆共蕊少《尹尹一声一渭姆耀溉尹一一一尹刀锣,,心“,,,编,“,故以⋯
6、为变量的线性方程组。一,,⋯,一,‘,伪‘一,又吻凡⋯,一,抵,一〔漏,礼,‘十“,,一一伪脚,一’伪,姆,一’⋯,一“、螺厂侃,,螺二一’有唯一解,故‘了,‘,了一渭艺。。‘满足初始条件的解唯一因此的解可以表为的形式定理如果的特征方程万一刀一’,尸一,⋯有一个重根···又,一又一凡人一“,,’,则厂创刃”田产一刀,一,,伪,,‘’并是的解其中⋯久,,花,⋯,入定理如果互不相同并且是特征方程尸。一刀一’,刀一月,一一,,、,,,,、的、⋯重根其中,习一广西师院学报自然科学版第卷,‘一〔、,,,一’刀
7、则艺云·,〔、,￡,,,夕,,,,是的通解其中⋯⋯为常数护定理及定理利用代数方程知识不难给出证明。推论如果线性差分方程组的特征多项式刀,尸一’,刃一,一,,护,一’,一久,一⋯尸⋯十编呱则满足差分程,‘,‘,,一」‘儿,牡爪尹尹一⋯十,’,其中乞一,”应用平面格图圈的计数平面格图圈的计数是个,文「〕利用递推法,。义平面格图圈的计数,给困难的问题研究了出了当。一,,时圈的计数表达式所满足的差分方程组,本文利用前面介绍的方法,给出了圈的计数表达式。定理记伽为丫”平面格图圈的个数,则满足差分方程,‘夕夕、
8、,夕一一即孔,升一一且有如下表达式‘、厂才、。,。。⋯七︸,了﹄且,沪的一习艺口‘口,一,,与气⋯”一⋯,一,一,。其中艺一由下表给出艺一一一〔、证明文「〕给出了下面的差分方程组,‘,,‘,夕,,,,二夕‘,,一一一一一夕‘,,夕,一一夕‘,’,‘,’,一夕,,一夕,一夕“,一夕,似一夕,,夕‘’,‘夕,夕,夕‘,,一一一一,,‘一,‘’‘,‘一。,,‘一夕,,‘一,,,一夕‘,,夕,’,夕,夕‘,,‘一一一一夕,孔夕‘’,‘一夕‘,一,,,,‘,,一一‘,,,,夕‘
