全国版2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积学案

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1、全国版2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积学案板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积,表面积是侧面积与底面面积之和.考点2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式考点3 柱、锥、台和球的表面积和体积[必会结论]1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①若球为正方体的外接球,则2R=a;②若球为正方体

2、的内切球,则2R=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[考点自测]                     1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.(  )(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.(  )(3)若一个球的体积为4π,则它的表面积为12π.(  )(4)将圆心角为,面积为3π的扇形作

3、为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4π.(  )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.[xx·长春模拟]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为(  )A.B.64C.D.答案 D解析 由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为4,∴其体积为×4×4×4=.故选D.3.[xx·合肥模拟]某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )A.12+4B.18+8C.28D.20+8答案 D解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图.则该几何体的表面积为S=2××2×2+

4、4×2×2+2×4=20+8.故选D.4.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为(  )A.2B.4+2C.4+4D.6+4答案 C解析 由题可知,该几何体的底面为等腰直角三角形,等腰直角三角形的斜边长为2,腰长为,棱柱的高为2,所以其侧面积S=2×2+2×2=4+4.故选C.5.[xx·全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为________.答案 14π解析 ∵长方体的顶点都在球O的球面上,∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径

5、.设球的半径为R,则2R==.∴球O的表面积为S=4πR2=4π×2=14π.6.[xx·山东高考]由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下,则该几何体的体积为________.答案 2+ 解析 该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1,高为1的四分之一圆柱体构成,∴V=2×1×1+2××π×12×1=2+.板块二 典例探究·考向突破考向 几何体的表面积                     例1 (1)[xx·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体

6、的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(  )A.10 B.12 C.14 D.16答案 B解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体各个面中有2个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2××(2+4)×2=12.故选B.(2)[xx·全国卷Ⅱ]下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )A.20πB.24πC.28πD.32π答案 C解析 由三视图可

7、得圆锥的母线长为=4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图,确定几何体的直观图.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.【变式训练1】 [xx·安徽高考]一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(  )A.1+B.1+2C.2+D.2答案 C

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