线性变换

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1、线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)1.求点B(0，1)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵表示将图形变换为与之关于直线y＝x对称的反射变换，故点B(0，1)变换得到点坐标B′(1，0)．2.设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程．解：因为＝＝，所以M＝.因为圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)，所以所以因为x2＋y2＝1，所以(x′－2y′)2＋y′2＝1，即图形F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1.3.已知矩阵M＝，其中a∈R

2、.若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a的值．解：由＝，得2－2a＝－4，解得a＝3.4.若矩阵M＝，求直线x＋y＋2＝0在M对应的变换作用下所得到的曲线方程．解：设点(x，y)是直线x＋y＋2＝0上任意一点，在矩阵M的作用下变换成点(x′，y′)，则＝，所以因为点(x，y)在直线x＋y＝－2上，所以x′＝x＋y＝－2，故得到的直线方程为x＋2＝0.5.线性变换T把点(1，0)变换坐标为(1，－1)，并且把圆x2＋y2－2y＝0变为圆x2＋y2－2x－2y＝0，求变换T所对应的矩阵M.解：设M＝，则＝，所以圆x2＋y2－2y＝0

3、化为圆x2＋(y－1)2＝1，它的圆心为(0，1)；圆x2＋y2－2x－2y＝0化为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2，它的圆心为(1，1)，故有＝，所以所以M＝.6.已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x＋3y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．解：(1)由题设得MN＝[][]＝.设(x，y)是直线2x＋3y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有＝，即＝，所以因为点(x，y)在直线2x＋3y＋1＝0上，从而2x′＋3(－y′)＋1＝0，即2x′－3y′＋1＝0.所以曲线F的

4、方程为2x－3y＋1＝0.7.求直线y＝x＋1在矩阵作用下变换得到的图形与x2＋y2＝1的位置关系．解：设点(x，y)是直线y＝x＋1上任意一点，在矩阵的作用下变换成点(x′，y′)，则＝，所以则因为点(x，y)在直线y＝x＋1上，所以有－＝x′＋1，即变换得到的图形为x＋y＋2＝0.圆心(0，0)到x＋y＋2＝0的距离为d＝＝＞1，所以直线与圆相离．8.变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝.求：(1)点P(2，1)在T1作用下的点P′的坐标；(2)函数y＝x2的图象依次在T1、T2变换作用下所得的曲线的方程

5、．解：(1)M1＝，M1＝＝，所以点(2，1)在T1作用下的点P′的坐标是(－1，2)．(2)M＝M2M1＝，设是变换后图象上任意一点，与之对应的变换前的点是，则M＝，也就是则所以所求曲线的方程是y－x＝y2.9.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝，(1)求向量2α＋3β在TM作用下的象；(2)求向量4Mα－3Mβ.解：(1)因为2α＋3β＝2＋3＝，所以M(2α＋3β)＝＝，故向量2α＋3β在TM作用下的象为.(2)4Mα－3Mβ＝M(4α－3β)＝＝.10.已知a、b∈R，若M＝所对应的变换TM把直线L：2x－y＝3变换为自身，求实数a、b.解：(解法1：特

6、殊点法)在直线2x－y＝3上任取两点(2，1)和(3，3)，则＝，即得点(a－2，2b＋3)；＝，即得点(3a－3，3b＋9)，将和分别代入2x－y＝3得解得(解法2：通法)设P(x，y)为直线2x－y＝3上任意一点，其在M的作用下变为(x′，y′)，则＝＝代入2x－y＝3，得－(b＋2)x＋(2a－3)y＝3，由题意得解得11.求把平面上的点P(3，－4)、Q(0，5)分别变换成点P′(2，－1)、Q′(－1，2)的变换矩阵M.解：设M＝，则由题意得[]＝，[]＝，即故故M＝.