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1、第四章线性变换习题精解1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2） 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3） 在P中，A；4） 在P中，A；5） 在P[]中，A6） 在P[]中，A其中P是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，A8） 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.解1)当时,是;当时,不是.2)当时,是;当时,不是.3)不是.例如当,时,A,A,AA(.4)是.因取,有A=A===A+AAA=A故A是P上的线性变换.5)是.因任取,并令则A
2、=A===A+A再令则AAA故A为上的线性变换.6)是.因任取则.A=AAAA7)不是.例如取a=1,k=I,则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)8)是.因任取二矩阵,则A(A+AA(k)=A故A是上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换.证明:A=B=C=E,ABBA,AB=BA并检验(AB)=AB是否成立.解任取一向量a=(x,y,z),则有1)因为A
3、a=(x,-z,y),Aa=(x,-y,-z)Aa=(x,z,-y),Aa=(x,y,z)Ba=(z,y,-x),Ba=(-x,y,-z)Ba=(-z,y,x),Ba=(x,y,z)Ca=(-y,x,z),Ca=(-x,-y,z)Ca=(y,-x,z),Ca=(x,y,z)所以A=B=C=E2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)所以ABBA3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以AB=BA3)因
4、为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)AB(a)=(-x,-y,z)所以(AB)AB3.在P[x]中,AB证明:AB-BA=E证任取P[x],则有(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=所以AB-BA=E4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:AB-BA=A(k>1)证采用数学归纳法.当k=2时AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A结论成立.归纳假设时结论成立,即AB-BA=A.则当时,有AB-BA=(AB-ABA)+(
5、ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A即时结论成立.故对一切结论成立.5.证明:可逆变换是双射.证设A是可逆变换,它的逆变换为A.若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令Ab=a即可.因此,A是一个双射.6.设,,,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关.证因A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性
6、无关.故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关.7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1)第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;2)[o;,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对的垂直投影,求A,B,AB在基,下的矩阵;1)在空间P[x]中,设变换A为试求A在基=(I=1,2,,n-1)下的矩阵A;2)六个函数=ecos,=esin=ecos,=esin=ecos,=esin的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换
7、D在基(i=1,2,,6)下的矩阵;3)已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;4)在P中,A定义如下:其中求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵;5)同上,求A在,,下的矩阵.解1)A=(2,0,1)=2+A=(-1,1,0)=-+A=(0,1,0)=故在基,，下的矩阵为2）取=（1，0），=（0，1）则A=+，A=+故A在基，下的矩阵为A=又因为B=0，B=所以B在基，下的矩阵为B=，另
8、外，（AB）=A（B）=A=+所以AB在基，下的矩阵为AB=，3）因为，所以AAA={}=，所以A在基,,,下的矩阵为A=，4）因为D=a-b,D=b-a,D=+a-b,D=+b+a,D=+a-b,D=+b+a，所以D在
