抛物线经典性质总结30条 (1).pdf

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1、抛物线性质30条2已知抛物线y2px(p0)，AB是抛物线的焦点弦，点C是AB的中点.AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K.求证：pp1.

2、AF

3、x,

4、BF

5、x,1222112.CCAB(AABB)；223.以AB为直径的圆与准线L相切；证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，

6、AB

7、

8、AF

9、

10、BF

11、

12、AA

13、

14、BB

15、2

16、CC

17、2r4.ACB90；(由1可证)5.AFB90；证明：AAFK,

18、AFKFAA,

19、AF

20、

21、AA

22、,AAFAFA,1AFKAFK,21同理：BFKBFK,得证.216.CFAB.2证明：由AFB90得证.7.AC垂直平分AF；BC垂直平分BF；11证明：由CFAB可知，

23、CF

24、

25、AB

26、

27、CA

28、,22又

29、AF

30、

31、AA

32、,得证.同理可证另一个.8.AC平分AAF，BC平分BBF,A’F平分AFK，B’F平分BFK.证明：由AC垂直平分AF可证.9.CFAB；

33、yy12证明：CFAB(p,)(xx,yy)21212222222yyyyyy122112p(xx)0212222PP10.AF；BF；1cos1cosp证明：作AH垂直x轴于点H，则

34、AF

35、

36、AA

37、

38、KF

39、

40、FH

41、p

42、AF

43、cos,

44、AF

45、.1cos同理可证另一个.11211.;AFBFPPP证明：由AF；BF；得证.1cos1cos112.点A处的切线为yyp(xx);112证明：（方法一）设点A处切线方程为yyk(

46、xx)，与y2px联立，得1122ky2py2p(ykx)0,由02xk2ykp0,1111yp1解这个关于k的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：k,得证.2xy112pp证法二：（求导）y2px两边对x求导得2yy2p,y,y

47、,得证.yxx1y113.AC’是切线，切点为A；BC’是切线，切点为B；证明：易求得点A处的切线为yyp(xx)，点B处的切线为yyp(xx)，解得两切线的交1122pyy12,得证.点为C(,)2214.过抛物线准线上任一点P作

48、抛物线的切线，则过两切点Q1、Q2的弦必过焦点;并且PQ1PQ2.2py证明：设点P(,t)(tR)为准线上任一点，过点P作抛物线的切线，切点为Q(,y),22p2ppyt22y2px两边对x求导得2yy2p,y,K,y2typ0,yyPQy2p2p22222y1y22显然4t4p0,切点有两个，设为Q(,y),Q(,y),则yy2t,yyp,112212122p2pyy2py2py1212kkFQ1FQ2y2py2py2p2y2p212122p22p

49、22py2py2p2p12220,所以Q1Q2过焦点.yyyyyyyyyy1122121212y2py2py2y2y2y2p21212122PQPQ(,yt)(,yt)yyt(yy)t1212212122p22p24p4422222222py1y22p(y1y2)2y1y22p4t2p2ttt0,242424PQPQ.1215.A、O、B三点共线；B、O、A三点共线；2py1p2证明：A、O、B三点共线kOA

50、kOBx1y2y1y2y1y1y2p.22p2同理可证：B、O、A三点共线.222p16.yyp；xx12124p222证明：设AB的方程为yk(x)，与y2px联立，得ky2pykp0,222422p2y1y2ppyy,yyp,xx.1212122k2p2p4p42p17.ABxxp122sinpp证明：ABAFFBxxxxp,1212221212p221

51、AB

52、1(yy)4yy1()4p2p12121222

53、kkkk22p2p1cot.得证.2sinp218.S；AOB2sin1p2p2p22证明：SSS(yy)4yy()4pAOBOFAOFB1212224k222p12p2p()11cot.2k22sin23Sp2pp2AOB19.（定值）；证明：由AB