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1、声、产、砂门沪沪,`砂.碑碑`户,口产、砂产、J、」八碑砂J尸产碑户八`、气尸、内月`八`八曰户、八曰八`内`八`八.八曰、八曰内.气、碑产、产、八目..,..心七,魂心`乡月闷每递几、占.月-,r,书·父L汰水扒迹万径~~、、~、、、~公安县第一中学杨忠盘、、、~、~、~、.交轨法即轨迹交点法之简称它是平面几何2壳ka一b):劣xx:(得+=“中常用的作图方法之一我们借用交轨法的基本1+h,,,,思想在平面解析几何里求一些第三类型轨迹设弦AB的中点为尸(x夕)则,.问题的轨迹方程颇为见效*~~
2、丛全=,兰三鱼迪匕丝交轨法的基本思想是什么呢?我们知道一21+k“,个动点在平面上生成的轨迹是该动点满足某些abyk一.再代入割线方程得于是2’条件的点的集合我们把动点所满足的条件分为1+几~-条件甲和条件.,,二二丝些竺兰2乙首先取条件甲放弃条件乙了、了、了l引进参数,求出动点应满足甲条件的曲线族方程l+几2,,壳ab(庵为参数)f(xyr)=o(t为参数)一y=一,,,,1+儿再取条件乙放弃条件甲引同一参数文.乙的曲线族方程;就是弦AB之中点尸的轨迹的参数方程消去参求出动点应满足条件,,,庵
3、甲(二夕t)二o(t为参数)数并整理得ZZ.,,x+y一a义一b刀=0显然动点是两曲线族集合内的点亦即两.““r2“忍,因为义十y<故所求轨迹是在圆x+y二个曲线族的交点(因两曲线族用同一参数若动.:2,,内的一段圆孤点的轨迹存在则两曲线族必相交)动点即是两.,这种解法是通常所使用的参数法没有明显曲线族分别叫做动点的第一轨迹和第二轨迹两,:地表露刁厅的中点尸是两个曲线族的交点而且个轨迹组成的方程组.,,下面我们采用f(x刀t)=o计算也比较繁琐,,t解法二设动弦AB的中点为尸(xy)尸点(为参数
4、){x,,a,,甲(从t)一。的第一轨迹是过定点Q(b)的割线设其斜率就是所求动点轨迹的参数方程.消去参数便得轨为k(参数),其方程为,.迹的普通方程F(二刀)二0刀一b二k(二一a)(1),我们把这种求动点轨迹的方法叫做交轨尸点的第二轨迹是在过O。法点到弦A厅的弦心距所在的直,.从广义上讲交轨法亦即参数法但二者又,,线上其斜率为一方程为.一’、`/`李’子`f/不完全等同交轨法是明显地将动点置于具有同~一”k~一;一参数的两曲线族的交点上而参数法不一定就、二一二〔约,,李是交轨法既使用了交轨法
5、的思想也是比较隐K,.不易被中学生所觉察尸点即是两直线族(、2蔽的1)()相应直线之交,本文将把交轨法与参数法有机地结合起来,,点两式相乘消去参数k得求动点的轨迹方程y刀一b-一x二一a.()().,’“例1由圆外一定点Q(。b)向圆x+夕~r“xZ十“ax或夕一一b刀一.0,、,.作割线交圆周于BAB中,,A求弦点的轨迹这种解法就是交轨法它思路清晰计算简:,,解法一设割线的斜率为k(参数)其方便,学生容易掌握.,程为例2一根轴RQ绕定点P转动并推动直角,夕一k(二一a)十b,三角形ABC沿直线
6、KL滑动已知尸到KL的距,,,xZZrZ6月C二3BC~4A+y二离为求枢轴RQ与斜边B由.{的延长线的交点M的轨迹方程夕=无(x一a)十b,题目明确要求两直线族交点的轨迹显然可消去夕得直接运用交轨法.1+k“xZaxa“r:,()+Zk(b一k)+(b一k)一=o解建立如图所示的坐标系设交点为、,,,,,.它的两个实根就是AB的横坐标由韦达定理M(二夕)并设C(x:o)(x:为参数)则,,,,,,,(二3)B(二:+4o)N设过原点O作一直线交AB于Q在OQ上取,,.M点的第一轨迹为直线一点尸
7、使M尸一NQ求尸点的轨迹方程:::a,,R口(过定点尸的直线束)解由题中条件得知>0为方便起见.,,_胜+设月B在O二轴上方(如图)ly尊=,工-匕Ox因此尸M也,几月扣门,且平行于.石阵呼巴6,二,,一宜,一州勺O尸份在轴上方由于M林py一6=一一二,一,,轰1=NQ故NO在O夕轴右方M点的第二轨迹为直线我们设直线O尸的倾角为,M书AB(一组平行直线束)(图3)e(参数)尸点的第一轨迹是:y一3_x一劣:直线口尸(过0点的直线束)o一3一(x:+4)一二:即5(图)·3x+4刀一12=3劣;2
8、夕=tgox1()()x2,:(r)()化简整理得尸点的第二轨迹是M尸(开呀于于Oy的直线束)·.`32.戈=Pcfggx夕+4夕一36夕+72=0M.·即是M点的轨迹方程(讨论略)但尸=NQ=aet90万30:xZ+21:xZ.t二=actg2例一动圆与0夕=1和00+0(2)’,.、,:夕一sx+7=o都内切求动圆圆心轨迹从(1)(2)中消去参数0得,这题并非明确要求交点的轨迹我们可设法y,=a,,,将条件转化使动点成为两曲线族的交点用交’.尸点的轨迹为一抛物线(AB在Ox轴下轨法.方,并平
