高中数学轨迹方程求轨迹方程的的基本方法关点法参数法交轨法向量法新人教版选修.pdf

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1、轨迹方程求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例1、某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？【解析】设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，

2、与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则

3、PA

4、+

5、PO

6、=1+r+1.5－r=2.5∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为116(x)242y2=1①253同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为14(x－)2+y2=1②2391291239123由①、②可解得P(,),Q(,)，∴r=()2()2141414142141476故所求圆柱的直径为cm.7◎◎双曲线的两焦点分别是F、F，其中F是抛物线y1(x1)21的焦点，两点A（-3

7、，2）、B（1，2）1214都在该双曲线上．（1）求点F的坐标；（2）求点F的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．121【解析】（1）由y(x1)21得(x1)24(y1)，焦点F（-1，0）．41（2）因为A、B在双曲线上，所以

8、

9、AF

10、

11、AF

12、

13、

14、

15、BF

16、

17、BF

18、

19、，

20、22

21、AF

22、

23、

24、22

25、BF

26、

27、．121222①若22

28、AF

29、22

30、BF

31、，则

32、AF

33、

34、BF

35、，点F的轨迹是线段AB的垂直平分线，且当y＝0时，F222221与F重合；当y＝4时，A、B均在双曲线的虚轴上．2

36、故此时F的轨迹方程为x＝-1（y≠0，y≠4）．2②若22

37、AF

38、

39、BF

40、22，则

41、AF

42、

43、BF

44、42，此时，F的轨迹是以A、B为焦点，a22，22222(x1)2(y2)2c2，中心为（-1，2）的椭圆，其方程为1，（y≠0，y≠4）84F(x1)2(y2)21故的轨迹是直线x＝-1或椭圆，除去两点（-1，0）、（-1，4）284评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可

45、，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2．定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．例2、已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，

46、AB

47、=2,求顶点C的轨迹方程【解析】

48、BC

49、+

50、CA

51、=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2,短轴

52、长为x2y223,∴椭圆方程为1,43又a>b,∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,x2y2因此点C的轨迹方程是：1(─2

53、OM

54、R2①11当eM

55、与eO相切时，有

56、OM

57、10R②22P将①②两式的两边分别相加，得

58、OM

59、

60、OM

61、12，12即(x3)2y2(x3)2y212③OOx12移项再两边分别平方得：2(x3)2y212x④两边再平方得：3x24y21080，x2y2整理得1，3627x2y2所以，动圆圆心的轨迹方程是1，轨迹是椭圆。3627◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且

62、AB

63、=

64、BC

65、=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.【解析】设过

66、B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：

67、BA

68、=

69、BD

70、，

71、PD

72、=

73、PE

74、，

75、CA

76、=

77、CE

78、，故

79、PB

80、+

81、PC

82、=

83、BD

84、+

85、PD

86、+

87、PC

88、=

89、BA

90、+

91、PE

92、+

93、PC

94、=

95、BA

96、+

97、CE

98、=

99、AB

100、+

101、CA

102、=6+12=18＞6=

103、BC

104、，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，x2y2以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系