高等数学04.ppt

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1、定理.设且存在,则例如,注：利用等价无穷小代换，可以将左边比较复杂的无穷小用右边较简单的无穷小等价代换，使极限计算简单化.几个常用的等价无穷小：注：在求极限的过程中，只有在变量的积或商中才可用等价无穷小替代，在变量的和及差中不能用。利用等价无穷小代换计算极限如果：利用等价无穷小代换计算极限在很多实际问题中，变量的变化常常是“连续”不断的．例如，气温随时间而变化着，当时间的改变极为微小时，气温的改变也极为微小，这就是说，气温是“连续变化”的．自然界的许多“连续变化”的现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性．这一节里，我们将运用极限来定义函数的连续性．

2、下面先介绍函数增量的概念．一、函数连续性的定义1．函数的增量若由山下走到学校的距离(s)为500米，阿华走了25分钟，则阿华的平均速度(averagespeed)为多少？Averagespeed=2．函数在x0点的连续性这个定义指出了函数f(x)在点x0连续要满足三个条件例已知函数讨论函数在x=0和x=1处的连续性．解（1）函数f(x)在x=0处有定义，且f(0)=0因为当x→0时，f(x)的左﹑右极限存在但不相等，所以极限不存在，函数f(x)在x=0处不连续．解（2）函数f(x)在x=1处有定义，且f(1)=1因为当x→0时，f(x)的左﹑右极限存

3、在且相等，所以极限存在，函数f(x)在x=1处连续．设解:例.所以在处连续.处的连续性.例.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.在在函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点

4、.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.函数的间断点的判定步骤：(1)求出间断点如果是分段函数则考虑其分界点。如果是解析函数考虑使函数无意义的点。（2）求出或者（3）根据定义判断间断点的类型。求出下列函数的间断点，并判断属于哪一类（1）（2）（3）内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,二、初等函数的连续

5、性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.重要定理（复合函数的连续性）设函数处连续，函数在处连续，且且则复合函数处连续。即说明：定理的条件中内函数在处连续可以减弱为内函数在时极限存在，函数的符号与极限号可以交换次序。即解因为是初等函数定义区间内的点．根据

6、定理4可知：例求解:原式说明:若则有例2.求解:原式例3.求解:令则原式说明:由此可见当时,有阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解:x=–1为第一类可去间断点x=1为第二类无穷间断点x=0为第一类跳跃间断点2.求解:原式=1(2000考研)注意此项含绝对值3.求解:令则利用夹逼准则可知