【主要内容】 介绍几种基本插值方法(如Lagrange插值、....ppt

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1、【主要内容】介绍几种基本的插值方法（如Lagrange插值、分段线性插值、三次样条插值等）与数据的最小二乘拟合方法。【主要目的】了解Mathematica提供的插值函数与拟合函数的使用方法，通过实例学习如何用插值与拟合解决实际问题,注意两者的联系与区别。第七讲插值与拟合实验【引例1】插值插值可以理解为，要根据一个用表格表示的函数，计算表中没有的函数值。插值在数学发展史上是个老问题。它最初来源于天体计算—由若干观测值计算任意时刻星球的位置。插值在机械加工等工程技术与数据处理等科学研究中有广泛的应用。插

2、值又是数值微分、数值积分、常微分方程数值解等数值计算的基础。一、一维插值知n+1个节点(xj,yj)(j=0,1,...,n),其中xj互不相同，不妨设a=x0

3、，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.则拉格朗日插值多项式公式为：其中li(x)为n次多项式：（1）拉格朗日(Lagrange)插值法2、插值方法：称为Lagrange插值基函数。容易证明两点一次(线性)插值多项式:三点二次(抛物)插值多项式:特别的：用Lagrange插值多项式Ln(x)近似,虽然随着节点个数的增加,Ln(x)次数n变大,多数情况下误差会变小,但是n增加时,Ln(x)光滑性变坏,有时会出现很大的振荡.例1采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值

4、多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.程序1Mathematic（2）分段线性插值xjxj-1xj+1x0xnxoy例2对例1中的函数与节点，画出情形下的分段线性插值的图形，研究分段线性插值的收敛性。程序2Mathematic比分段线性插值更光滑。xyxi-1xiab在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条

5、插值就是一个很好的例子。（3）三次样条插值定义设在区间[a,b]上给定一组节点上的函数值，函数满足1）在每个小区间上都是次数不超过3的多项式；2）3）在[a,b]上有连续的二阶导数。则称为三次样条插值函数。三次样条插值问题的提法如下：给定函数在个节点处的函数值为，求一个三次样条函数，使其满足：例3用三次样条插值选取11个基点计算插值.程序3Mathematic3、用Mathematic做一维插值Interpolation[date,InterpolationOrder->n]实例1在1-12的11小

6、时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。程序4Mathematic实例2机翼加工问题已知机翼上缘轮线数据如下：x0.004.749.5019.0038.0057.0076.00y0.005.328.1011.9716.1517.1016.34x95.00114.00133.00152.00171.00190.00y14.6312.169.697.033.990.00用三次样条函数画出机翼曲线。机

7、翼上轮廓线程序5Mathematic4、用Mathematic做二维网格节点数据的插值Interpolation[date]实例3海底地形图的绘制为了在一新的海域建立新的航道，需要知道海底深度，并绘制海底地形图。现使用一艘勘测船，对一矩形区域内均匀网格上海底深度进行勘测，得到以下数据（x与y为点的坐标）：x=0x=20x=40x=60x=80x=100y=08.738.328.007.977.777.99y=408.948.786.877.227.927.99y=808.888.914.216.38

8、7.377.95y=1208.798.798.545.824.887.97y=1608.758.807.915.804.777.85y=2008.528.316.616.066.497.97假定海底经过海水冲刷，充分光滑，也没有礁石与洞穴。试用插值方法得到此海域深度数据并绘制海底地形图与等高线图。程序6Mathematic海底地形图等高线图【引例2】拟合设R=at+ba,b为待定系数根据一组数据（平面上若干点），确定一条曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近，这就是曲线