离散数学 函数的复合与反函数.ppt

《离散数学 函数的复合与反函数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、4.7函数的复合与反函数函数的复合函数复合的定理函数复合的性质反函数反函数存在的条件反函数的性质由于函数是一种特殊的二元关系，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成，因此函数的合成方法与关系的合成方法是一致的。由图可知f和g合成后的函数称为复合函数，记为g∘f。且g∘f={<1,2>,<2,2>,<3,1>}。例如:已知f是A到B的函数，g是B到C的函数，它们所确定的对应关系如图所示。f={<1,1>,<2,1>,<3,4>}，g={<1,2>,<2,2>,<3,2>,<4,1>}，由于函数是一种特殊的二元关系同，两个函数的

2、复合本质上就是两个关系的合成。例如设f是A到B的函数，g是B到C的函数，它对所确定的对应关系如图所示：如果将函数f看作是A到B的二元关系，g看作是B到C的二元关系，合成后的关系记为R，它是A到C的二元关系，记为R=f∘g，且R={(x,b),(y,b),(z,a)}.f={,,}，g={<1,b>,<2,b>,<3,b>,<4,a>}，一、复合函数的定义设f是A到B的函数，g是B到C的函数，f和g合成后的函数称为复合函数，记为g∘f。它是A到C的函数。当a∈A,b∈B,c∈C，且f(a)=b,f

3、(b)=c时，g∘f(a)=c.注意：当f和g看作是二元关系时，合成后的关系记为f∘g，但当f和g看作是函数时f和g合成后的函数称为复合函数，记为g∘f。定理设F,G是函数,则F∘G也是函数,且满足(1)dom(F∘G)={x

4、x∈domFF(x)∈domG}(2)x∈dom(F∘G)有F∘G(x)=F(G(x))例：设集合A={x,y,z},B={a,b,c,d},C={1,2,3}f是A到B的函数，g是B到C的函数，其中f(x)=b,f(y)=c,f(z)=cg(a)=1,g(b)=2,g(c)=1,g(d)=3求

5、复合函数g∘f。解：由定义可知复合函数g∘f是A到C的函数。且g∘f(x)=g(f(x))=g(b)=2.g∘f(y)=g(f(y))=g(c)=1.g∘f(z)=g(f(z))=g(c)=1.推论1设f：A→B,g：B→C,则f∘g：A→C,且x∈A都有f∘g(x)=f(g(x)).推论2设F,G,H为函数,则(F∘G)∘H和F∘(G∘H)都是函数,且(F∘G)∘H=F∘(G∘H)由于函数是一种特殊的二元关系，而二元关系的合成可以看作是一种运算，且这种运算满足结合律但不满足交换律。于是有：推论3设F,G为函数,则F∘G和

6、G∘F都是函数,且F∘G≠G∘F函数复合运算的性质定理设f：A→B,g：B→C. (1)如果f和g都是单射函数,则g∘f：A→C也是单射的函数.(2)如果f和g都是满射函数,则g∘f：A→C也是满射的函数. (3)如果f和g都是双射函数,则g∘f：A→C也是双射的函数.证(1)c∈C,由g：B→C的满射性,b∈B使得g(b)=c.对这个b,由f：A→B的满射性，a∈A使得f(a)=b.由合成定理有g∘f(a)=g(f(a))=g(b)=c从而证明了f∘g：A→C是满射的.二、函数的逆（反函数）对于二元关系R，只要交

7、换所有的有序对，就能得到逆关系；但对于函数f,交换所有的有序对得到的逆关系到却不一定是函数，只有当f为双射函数时其逆关系才是函数。二、反函数(函数的逆)但对于函数f,交换f的所有有序对得到的逆关系f1是二元关系却不一定是函数。如：F={,}，F1={,}对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序，就能得其逆关系；反函数存在的条件但对于函数f,交换所有的有序对得到的逆关系到却不一定是函数，只有当f为双射函数时其逆关系才是函数。反函数的定义及性质反函数的定义：对于双射函数f：A→B,称f

8、1：B→A是它的反函数.定理设f：A→B是双射的,则f1：B→A也是双射的.反函数的性质：定理:设f：A→B是双射的,则f1∘f=IA,f∘f1=IB对于双射函数f：A→A,有f1∘f=f∘f1=IA函数复合与反函数的计算例：设R是实数集，且f,g,h是R到R的函数其中f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求f∘g,g∘f，(f∘g)∘h和f∘(g∘h).解：f∘g(x)=f(1+x2)=2+x2g∘f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2(f∘g)∘h(x)=(f∘g)∘

9、(1+x3)=2+(1+x3)2f∘(g∘h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2思考：设f：R→R,g：R→R求fg,gf.如果f和g存在反函数,求出它们的反函数.f：R→R不是双射的,不存在反函数.g：R→R是双射的,它的反函数是g1：R→R,g1(x)=