[理学]定积分及其应用.ppt

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1、第三节定积分的应用一、直角坐标系中图形的面积：求由曲线y=f(x)(f(x)≥0),直线x=a，x=b(a

2、y)coxydcoxydx=(y)coxydx=(y)coxydx=(y)x=(y)例1计算由抛物线，所围成的图形的面积。1oxy1解：先作出所求面积的草图，例2求椭圆所围图形的面积解：先作出所求面积的草图，例3计算由抛物线与直线所围成的图形的面积.yox84-2yox84-22解：若以x作为积分变量yox842-2x=(y)x=(y)dc解：若以y作为积分变量利用定积分求平面图形面积的步骤：1、先绘出欲求面积的图形（草图）；并在图上标明各交点坐标；2、决定分几块积分，选择对x积分还是对y积分；（

3、注意尽量避免边界方程出现分段函数）；3、确定每个积分的被积函数及上、下限，并求出定积分结果。旋转体是由一个平面图形绕此平面内一条直线（称为旋转轴）旋转一周而形成的立体.二、旋转体的体积：求由曲线y=f(x),（假设曲线f(x)与x轴不相交）与直线x=a,x=b(a

4、椭圆围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体（称为旋转椭球体）的体积。-aoxya解：-boxyb例5计算由椭圆围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体（称为旋转椭球体）的体积。解：1oxy1例6求由和所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。解：三、微元法简介：1、A是一个与某个变量x及其变化区间[a,b]相联系的量；2、A对于[a,b]具有可加性，即把区间[a,b]分成许多小区间，则相应把所求量A分成许多部分量，而A等于所有部分量之和。则A可考虑用定积分来表达，具体的步骤如下：若我们所要求的量A符合条件：1、

5、根据问题的具体情况，选取适当的积分变量（例如x），并确定它的变化区间[a,b]；2、在[a,b]的任一子区间[x,x+dx]上，找出相应增量A的近似值——微分表达式称dA为量A的元素或微元.3、对元素关系式在[a,b]上作定积分，即得所求量A的积分表达式上述这种通过微元解决问题的方法称为微元法。1xOyy=f(x)=x2x1xOyy=f(x)=x2x+dxaoxyby=f(x)xx+dxdAaoxyby=f(x)y=g(x)xx+dxdAcoxydx=(y)x=(y)yy+dydAaby=f(x)yox

6、x=(y)cdy+dyy定积分定义1.分成小区间[xi-1，xi]微元法1.取一小段[x，x+dx]3.在[a,b]上“相加”得：0ass+dsbsAMNB四、变力所做的功：设物体在变力F=F(s)的作用下沿直线由s=a移动到s=b，且力的方向与位移方向一致，求物体由s=a移动到s=b时变力所作的功。（k为比例系数）四.连续函数的平均值：设曲线y=f(x)在区间〔a，b〕上连续，则其平均值为：例（药物效力的测量）药物被病人服用后，首先由血液系统吸收，然后才能发挥它的作用。然而，并非所有的剂量都可以被吸收产生

7、效用。为了测量血液系统中有效药量的总量，就必须监测药物在人体尿中的排泄速率，目前在临床上已有标准测定法。如果排泄速率为r(t)（t为时间），则在时间间隔[0,T]内，药物通过人体后排出的总量为又标准排出速率函数为r(t)=te-Kt(K>0)，求总量D。例8在某一实验中，先让病人禁食（以降低体内的血糖水平），然后通过注射给以大量的葡萄糖。假设实验测定血液中胰岛素浓度c(t)(单位/mL)符合下例函数：其中，时间t的单位为分钟，求1小时内血液中胰岛素的平均浓度。