定积分及其应用 .ppt

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1、第六章定积分及其应用本章将讨论积分学的另一个基本问题——定积分.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.本章将从两个实际问题引出定积分的概念，然后讨论它的性质与计算方法，最后介绍定积分的应用.第一节定积分的概念abxyo一、引例1、曲边梯形的面积设y=f(x)在[a,b]上非负、连续,由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的图形,见图5–1,y=f(x)AOxy称为曲边梯形,其中x轴称为底边,曲线y=f(x)称为曲边.现在讨论一般的曲边梯形的面积.(1)大化小(分割):在[a,b]中任意插入若干个分点把[a,b]分成n个小区间[x0,x1],

2、[x1,x2],,[xn-1,xn],这些小区间的长度分别为经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,见图5–3.设每个小曲边梯形的面积为Si(i=1,2,,n).任取i[xi-1,xi],以[xi-1,xi]为底,xOyy=f(x)abxi-1xiif(I)为高的小矩形的面积近似代替以[xi-1,xi]为底的小曲边梯形的面积,则Sif(i)xi(i=1,2,,n).(2)常代变:将这n个小矩形的面积相加,则记=maxx1,x2,,xn,当0时,每个小区间的长度xi0,这时,充分接近于精确

3、值S,即所求面积的近似值为(3)近似和:(4)取极限:2、变速直线运动的路程当物体做匀速直线运动时,其运动的距离等于速度乘以时间.现设物体运动的速度v随时间t而变化,即v=v(t),求此物体在时间区间[T1,T2]内运动的路程.(1)大化小:在[T1,T2]内任意插入若干个分点把[T1,T2]分成n个小时间段[t0,t1],[t1,t2],,[tn-1,tn],各个小时间段的长度依次为设物体在[ti-1,ti]内经过的路程依次为S1,S2,,Sn.任取i[ti-1,ti],将物体在[ti-1,ti]时将这个n个小区间段内路程的近似值相加,则得到

4、所求路程的近似值记=maxt1,t2,,tn,当0时,在[T1,T2]时间段物体的运动路程为上面两个例子虽然问题不同,但解决的方法是相同的,都归结为求同一问题的和的极限.间段内看成以速度v(i)做匀速运动,则这段时间路程的近似值为Siv(i)ti(i=1,2,,n).(2)常代变:(3)近似和:(4)取极限:二、定积分的定义定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0

5、区间的长度依次为在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点i,作函数值f(i)与小区间长度的乘积f(i)xi(i=1,2,,n),并求和记=maxx1,x2,,xn,定积分(简称积分),记做其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b]叫做积分区间.怎么分,也不论对点怎么取,只要当0时,和sn的如果不论对区间[a,b]极限总存在,则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的通常称为f(x)的积分和.f(x)在[a,b]上定积分存在,就说f(x)在区间[a,b]上可积.

6、前面所讨论的两个实际问题中,曲边梯形的面积可表示为变速直线运动的路程可表示为定积分是一个数值(如面积、路程),定积分只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关,而与积分变量的记号无关,如如果下面给出两个定积分存在的充分条件.定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上最多有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积.若在区间[a,b]上f(x)连续、非负,则定积分在几何上表示由曲线y=f(x),若在区间[a,b]上f(x)连续,正非,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的

7、曲边梯形位于x轴的下方,则定积分若在区间[a,b]上连续函数f(x)既取得正值又取得负值,函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方,而其他部分在几何上表示上述面积的负值;在x轴的下方,图形面积减去x轴下方图形面积所得的差,见下页图.表示x轴上方直线x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;三、定积分的几何意义:此时定积分Oyy=f(x)abx+++--例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取