多元函数微分法及其应用(7)

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1、第九章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多

2、元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的

3、求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。§8.1多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R´R={(x,y)

4、x,yÎR}就表示坐标平面.坐标平面上具有某

5、种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)

6、(x,y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)

7、x2+y2

8、OP

9、表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成C={P

10、

11、OP

12、

13、0)为中心、d>0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体.点P0的去心d邻域,记作,即.注:如果不需要强调邻域的半径d,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作.点与点集之间的关系:任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)ÌE,则称P为E的内点;(2)外点:如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)ÇE=Æ,则称P为E的外点;(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为

14、E的边点.E的边界点的全体,称为E的边界,记作¶E.E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果对于任意给定的d>0,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.由聚点的定义可知,点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E.例如,设平面点集E={(x,y)

15、1

16、它们都属于E;点集E以及它的界边¶E上的一切点都是E的聚点.开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.闭集:如果点集的余集Ec为开集,则称E为闭集.开集的例子:E={(x,y)

17、1

18、1£x2+y2£2}.集合{(x,y)

19、1

20、1

21、同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E={(x,y)

22、1£x2+y2£2}.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得EÌU(O,r),其中O是坐标原点,则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.例如,集合{(x,y)

23、1£x2+y2£2}是有界闭区域;集合{(x,y)

24、x+y>1}是无界开区域;集合{(x,y)

25、x+y³1}是无界闭区域.2.n维空间设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序数组