57广义积分.ppt

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1、二、无界函数的广义积分第七节一、无限区间上的广义积分广义积分第五章科学出版社定积分需要推广定积分的观念.被积函数有界有时不得不考察无限区间上的积分或无界函数的积分，广义积分积分区间有限无穷区间的广义积分无界函数的广义积分科学出版社定义1.设若存在,则称此极限为f(x)的无限区间上的广义积分,记为这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.一、无限区间的广义积分科学出版社则定义(c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.类似地,若则定义

2、科学出版社例1.计算广义积分解:思考:分析:原积分发散!注意:对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.科学出版社解:例2.计算广义积分科学出版社例3.证明p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.科学出版社二、无界函数的广义积分引例:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为科学出版社定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广

3、义积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的广义积分,则定义则称此极限为函记作科学出版社而在点c的无界点常称为瑕点(奇点).邻域内无界,则定义的端点.即，当积分区间内有被积函数的无穷间断点时，用无穷间断点将原积分区间分割成若干个小区间，应该对每个小区间进行广义积分.然后无穷间断点应为积分区科学出版社下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.计算广义积分解:显然瑕点为a,所以原式例5.讨论广义积分的收敛性.解:所以广义积分发散.科学出版社例6.证明广义积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q

4、≥1时发散.当q≠1时所以当q<1时,该广义积分收敛,其值为当q≥1时,该广义积分发散.科学出版社1.两类广义积分都是定积分的极限；3.下面两个广义积分非常重要，必须记住.说明：2.无界函数的广义积分与定积分在形式上完全一致，若把这类广义积分当定积分计算，可能得出错误结论.科学出版社例如,5.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.4.有时通过换元,广义积分和定积分可以互相转化.科学出版社作业：P171习题1(2)(6)(8)(10)科学出版社