三垂线定理及逆定理.ppt

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1、第一章直线和平面三垂线定理新野一高周立平这是偶然的巧合，还是必然？EMDBOAAE⊥OD？cos1·cos2=cos31=∠AOB3=∠AOD2=∠DOBAaOPPO⊥a？AaOP已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理AaOP证明：a⊥POPA⊥aAO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥a三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。A

2、aOP证明：a⊥POPA⊥aAO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aPCBAO例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BCMPMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾，怎么找？三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、

3、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaαPAOaαbcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线②异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥时，b⊥OA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但b不垂直于OP解题回顾PAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线

4、斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线

5、斜垂直定理逆定理例2如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析：要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???证明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立例3在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明

6、：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，PAOaαl*已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影，a,a⊥AO，l平行于a。求证：l垂直于PO练习与作业p27练习1.2.3.作业：P29习题9.4第11、12、13题。