第18讲全等三角形中的截长补短.pdf

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1、第18讲全等三角形中的截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．AAEEODOD1423BCBFC【解析】BECDBC，理由是：在BC上截取BFBE，连结OF，利用SAS证得BEO≌BFO，∴12，1∵A60，∴BOC90A120，∴DOE120，2∴ADOE180，∴AEOADO180，∴13180，∵24180，∴12，∴34，利用AAS证得CDO≌CFO，∴

2、CDCF，∴BCBFCFBECD．【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?DDGNNAMBEAMBE【解析】猜测DMMN.过点M作MG∥BD交AD于点G，AGAM，∴GDMB又∵∠ADMDMA120，∠DMA∠NMB120∴∠ADM∠NMB，而∠DGM∠MBN120，∴DGM≌MBN，∴DMMN．【例3】如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．【

3、解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．证延长AB到F，使BF=CE，则由正方形性质知AF=AB+BF=BC+CE．下面我们利用全等三角形来证明AE=AF．为此，连接EF交边BC于G．由于对顶角∠BGF=∠CGE，所以Rt△BGF≌Rt△CGE(AAS)，从而于是Rt△ABG≌Rt△ADM(SAS)，所以过G

4、引GH⊥AE于H．因为AG是∠EAF的平分线，所以GB=GH，从而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以∠F=∠HEG，则AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即AE=BC+CE．说明我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作∠BAE的平分线AG交边BC于G，再作GH⊥AE于H，通过证明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面设法证明HE=CE即可，请同学们自证．【例4】(“希望杯”竞赛试题)如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为()khA.aB.kC.D.h2【解析】过点D作BC的垂线，垂足

5、为E.∵∠AMD=75°，∠BMC=45°∴∠DMC=60°∵DM=CM∴CD=DM∵AD⊥AB，DE⊥BC，CB⊥AB，∠AMD=75°∴∠ADM=∠EDC∴△ADM≌△CDE∴AD=DE故ABED为正方形，AB=AD=h，选D.【例5】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.【解析】延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF∴△ABM≌△ADF∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM∴∠AMB=∠EAM∴AE=EM=BE+B

6、M=BE+DF.【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？DCDCNNAMBEAMBE【解析】猜测DMMN.在AD上截取AGAM，∴DGMB，∴∠AGM45∴∠DGM∠MBN135，∴∠ADM∠NMB，∴DGM≌MBN，∴DMMN．【例6】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．DAEOECDAEFOEC【解析】因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAEBAD60，则BA

7、EDAC，所以BAE≌DAC，则有ABEADC，AEBACD，BEDC．在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADF≌ABO，ACF≌AEO．进而由AFAO．得AFOAOF；由AOEAFO可得AOFAOE，即OA平分DOE．【例7】如图所示，分别以ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角三角形ACE和BCD，M为ED的中点，求证AMBM.【解析】如图所示，