全等三角形中的截长补短教师版本

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1、全等三角形中的截长补短中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是

2、对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个

3、三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法

4、，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例题精讲板块一、全等与角度【例10】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.【解析】如图所示，延长至使，连接、.由知，而，则为等边三角形.注意到，，，故.从而有，，故.所以，.【另解】在上取点，使得，则由题意可知.在和中，，，，则，从而，进而有，，.注意到，则：，故.【

5、点评】由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例10】在等腰中，，顶角，在边上取点，使，求.【解析】以为边向外作正，连接.在和中，，，，则.由此可得，所以是等腰三角形.由于，则，从而，，则.【另解1】以为边在外作等边三角形，连接.在和中，，，，因此，从而，.在和中，，，，故，从而，，故

6、，因此.【另解2】如图所示，以为边向内部作等边，连接、.在和中，，，，故，而，进而有.则，故.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例10】(“勤奋杯”数学邀请赛试题)如图所示，在中，，，又在上，在上，且满足，，求.【解析】过作的平行线交于，连接交于.连接，易知、均为正三角形.因为，，，所以，，，则，，故.从而.进而有，.【另解】如图所示，在上取点，使得，由、可知.而，故，.在中，，，故，从而，进而可得.而，所以为等边三角形.在中，，，故，从而.我们已经得到，故是的外心，从而.【点评】本题是一道平面几何

7、名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师RossHonsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【例10】在四边形中，已知，，，，求的度数.【解析】如图所示，延长至，使，由已知可得：，，故.又因为，，故，因此，，.又因为，故，.而已知，所以为等边三角形.于是，故，则，从而，所以.【例10】(日本算术奥林匹克试题)如图所示，在四边形中，，，，，求的度数.【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是的倍数，这使我们想到构造角，从而利用正三角形.在四边形外取一点，使且，连接、.在和中

8、，，，，故.从而.在中，，，故，，从而.而，故是正三角形，，.在中，，故.在和中，，，，故，从