高等数学5-4反常积分.ppt

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1、二、无界函数的反常积分第四节一、无穷限的反常积分反常积分1一、无穷限的反常积分引例.求曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积。=Aòbxx12d¥+®blim2345无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:上述定义中若出现它表明该反常积分发散.6例1.计算反常积分解:7例2计算广义积分解8引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:9例3计算广义积分解10思考:分析:原积分发散!注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.11例4.证明广义积分：证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1时,反常

2、积分收敛,其值为当p≤1时,反常积分发散.记！12证记！13例6.计算反常积分解:思考:提示:利用分部积分法得到递推公式：记！14二、无界函数的反常积分引例:曲线与x轴,y轴和直线所围成的开口曲边梯形的面积可记作+®0limeò1dexx=A15定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.若极限极限为函数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作类似地,若而在b的左邻域内无界,则定义：则称此16而在点c的邻域内无界,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称为瑕点(奇点).以上积分也称为瑕积分.如果两个广义积分和都收敛，则

3、定义：17若被积函数在积分区间上仅存在有限个第说明:例如,一类间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,18注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕点,则则可相消吗?19例7计算广义积分解20下述解法是否正确:,∴积分收敛例8.讨论反常积分的收敛性.解:所以反常积分发散.因为ò-012dxx21证22例10.证明反常积分证:当q=1时,当q<1时收敛;q≥1时发散.当q≠1时所以当q<1时,该广义积分收敛,其值为当q≥1时,该广义积分发散.23例11计算广义积分解故原广义积分发散.24例12计算广义积分解瑕点2513积分的瑕点

4、是哪几点？解:积分可能的瑕点是不是瑕点,的瑕点是26说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.27