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《高等数学-第七版-课件-5-4 反常积分.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四讲反常积分反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积.引例记作:无穷限的反常积分函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分设任取记为即称反常积分收敛;如果上述极限不存在,那么称反常积分发散.并称此极限为该反常积分的值;设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,如果上述极限存在,那么定义(反常积分的收敛与发散)设任取记为即定义(反常积分的收敛与发散)函数f(x)在无穷区间上的反常积分称反常积分收敛;如果上
2、述极限不存在,那么称反常积分发散.并称此极限为该反常积分的值;设函数f(x)在区间上连续,如果上述极限存在,那么设记为即定义(反常积分的收敛与发散)函数f(x)在无穷区间上的反常积分与反常积分均收敛,那么称反常积分收敛,并称否则就称反常积分发散.设函数f(x)在区间上连续,如果反常积分为反常积分的值,引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:若F(x)是f(x)的原函数,思考:例1例2例3证明当p>1时收敛;p≤1时发散.注牢记结论计算计算反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分反常积分一、无穷限的
3、反常积分二、无界函数的反常积分曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积.可记作引例无界函数的反常积分如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界,则称点a为f(x)的瑕点(无界间断点).(瑕积分)函数f(x)在区间(a,b]上的反常积分设点a为f(x)的瑕点,任取记为即定义极限存在,那么称反常积分收敛;并称此极限为该设函数f(x)在区间(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点,如果上述反常积分的值;如果上述极限不存在,那么称反常积分发散.函数f(x)在区间[a,b)上的反常积分设点b为f(x)的瑕点,任取
4、记为即定义极限存在,那么称反常积分收敛;并称此极限为该设函数f(x)在区间[a,b)上连续,点b为f(x)的瑕点,如果上述反常积分的值;如果上述极限不存在,那么称反常积分发散.设f(x)在[a,b]上除点c点c为f(x)的瑕点,外连续,函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分记为即定义如果反常积分与反常积分均收敛,那么称反常积分收敛,并称设函数f(x)在区间及区间上连续,点c为f(x)的瑕点.为反常积分的值,否则就称反常积分发散.的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若b为瑕点,则若a为瑕点,则若a,b都为瑕
5、点,则可相消吗?若F(x)是f(x)的原函数,则若c为瑕点,思考例4例5若忽略了x=0为被积函数的瑕点,就会导致错误!注例6证明当q<1时收敛;q≥1时发散.注牢记结论例7计算计算计算(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.注试证,并求其值.例8