2020高考数学一轮复习选修4-5不等式选讲课时作业73不等式的证明文.doc

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1、课时作业73　不等式的证明[基础达标]1．[2018·江苏卷]若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．证明：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，当且仅当＝＝时，等号成立，此时x＝，y＝，z＝，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.2．[2019·云南大理模拟]已知函数f(x)＝

2、x

3、＋

4、x－3

5、.(1)解关于x的不等式f(x)－5≥x；(2)设m，n∈{y

6、y＝f(x)}，试比较mn＋4与2(m＋n)的大小．解析：(1)f(x)＝

7、x

8、＋

9、x－3

10、＝f(x

11、)－5≥x，即或或解得x≤－或x∈∅或x≥8，所以不等式的解集为∪[8，＋∞)．(2)由(1)易知f(x)≥3，所以m≥3，n≥3.由于2(m＋n)－(mn＋4)＝2m－mn＋2n－4＝(m－2)(2－n)且m≥3，n≥3，所以m－2>0,2－n<0，即(m－2)(2－n)<0，所以2(m＋n)

12、2x－1

13、，x∈R.(1)解不等式f(x)<

14、x

15、＋1；(2)若对x，y∈R，有

16、x－y－1

17、≤，

18、2y＋1

19、≤，求证：f(x)<1.解析：(1)∵f(x)<

20、x

21、＋1，∴

22、2x－1

23、<

24、x

25、＋1，即或

26、或得≤x<2或0

27、x

28、＋1的解集为{x

29、0

30、2x－1

31、＝

32、2(x－y－1)＋(2y＋1)

33、≤

34、2(x－y－1)

35、＋

36、2y＋1

37、＝2

38、x－y－1

39、＋

40、2y＋1

41、≤2×＋＝<1.4．[2019·安徽省知名示范高中质检]已知x，y，z，λ均为正实数．(1)求证：≥；(2)若x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥2.证明：(1)要证≥，即证(1＋λ)(x2＋λy2)≥(x＋λy)2，而(1＋λ)(x2＋λy2)－(x＋λy)2＝λ(x－y)2≥0，当且仅当x＝y时取等号，故原不等式成立．(2)由(1)可得＝≥＝(当且仅当x＋y

42、＝2y，即x＋y时取等号)，同理可得≥(当且仅当y＋z＝2z，即y＝z时取等号)，≥(当且仅当z＋x＝2x，即x＝z时取等号)，所以＋＋≥＋＋＝2(x＋y＋z)＝2，当且仅当x＝y＝z时取等号．5．[2019·广州测试]已知函数f(x)＝

43、2x＋1

44、＋

45、2x－1

46、，不等式f(x)≤2的解集为M.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

47、a＋b

48、＋

49、a－b

50、≤1.解析：(1)f(x)≤2，即

51、2x＋1

52、＋

53、2x－1

54、≤2，当x≤－时，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－，故x＝－；当－

55、x＋1)＋(2x－1)≤2，解得x≤，故x＝.所以不等式f(x)≤2的解集M＝.(2)证法一　当a，b∈M时，－≤a≤，－≤b≤，得

56、a

57、≤，

58、b

59、≤.当(a＋b)(a－b)≥0时，

60、a＋b

61、＋

62、a－b

63、＝

64、(a＋b)＋(a－b)

65、＝2

66、a

67、≤1，当(a＋b)(a－b)<0时，

68、a＋b

69、＋

70、a－b

71、＝

72、(a＋b)－(a－b)

73、＝2

74、b

75、≤1，所以

76、a＋b

77、＋

78、a－b

79、≤1.证法二　当a，b∈M时，－≤a≤，－≤b≤，得

80、a

81、≤，

82、b

83、≤.(

84、a＋b

85、＋

86、a－b

87、)2＝2(a2＋b2)＋2

88、a2－b2

89、＝因为a2≤，b2≤，所以4a2≤1,4b2≤1.故(

90、a＋b

91、＋

92、a－b

93、

94、)2≤1，所以

95、a＋b

96、＋

97、a－b

98、≤1.6．[2019·南昌模拟]已知函数f(x)＝

99、x－1

100、－

101、x＋2

102、＋4.(1)求不等式f(x)≤2的解集M；(2)若a，b∈M，minA表示数集A中的最小数，若h＝min，证明：h≤f(x)．解析：(1)由题意得，或或解得x≥，∴M＝{x

103、x≥}．(2)证法一　由题意知，∴h2≤，∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，∴h2≤≤1，∴0＜h≤1.∵

104、

105、x－1

106、－

107、x＋2

108、

109、≤

110、(x－1)－(x＋2)

111、＝3，∴－3≤

112、x－1

113、－

114、x＋2

115、≤3，f(x)≥1≥h，得证．证法二　由f(x)＝结合f(x)的图象(图略)可得f(x

116、)≥1.∵b≥，∴2b≥1，≤＝≤1，当且仅当a＝b时等号成立，∴h≤f(x)．[能力挑战]7．求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N*且n≥2)．证明：∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N*且k≥2)，∴＜＜，即－＜＜－.分别令k＝2,3，…，n得－＜＜1－，－＜＜－，－＜＜－，将这些不等式相加得－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，即－＜＋＋…＋＜1－，∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－，即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n∈N*且n≥2)成立．