修改第一节定积分的概念及性质ppt课件.ppt

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1、第六章定积分第一节定积分的概念与性质第二节定积分的计算第三节定积分的应用第四节广义积分初步补充第一节定积分的概念与性质一.定积分的概念1.求曲边梯形的面积曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.曲边梯形求由连续曲线与直线及轴所围曲边梯形的面积.abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）阿基米德运用这种方法，求得抛物线与x轴及直线x=1所围成的平面图形面积的近似值.求曲边梯形的面积首先，我们重复阿基米德的做法

2、：分割—代替—求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.第一步：分划任意引入分点第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替第三步：求和第四步：取极限例1求由与轴所围成的图形的面积.及在中任意插入个分点:任取作和观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当

3、分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2.求做变速直线运动的物体走过的路程(1)分割(2)代替(3)求和(4)取极限已知求3.定义设是定义在上的有界函数,在中任意插入个分点:将分成个区间区间长记任取作和令如果极限存在,且与的分法及的取法无关.为函数上的定积分.记作:则称在区间上可积,并称该极限值在区间注：(1)定积分与积

4、分变量符号无关.(2)可积条件:(无界不可积)（3）交换积分上、下限，定积分改变符号。二.定积分的性质性质1证前提:在所讨论区间上可积补充性质2证推论:性质3时:在内插入个分点:将分成份,不妨设注:此性质称为积分在区间上的可加性.当时:故同理可证时结论仍成立.注:定积分的几何意义(1)时(2)时符号不定时(3)性质4(保号性)如果在区间上恒有则证故推论在区间上可积,且如果则证因则故例2不计算定积分,比较下列积分大小与与解(1)因故(2)因故例3设在上连续,且如果求证:证因且则至少存在一点使又因连续则在内在故命题成立.2009考研在区间上图形为：则如果的图形为：性质4(保号性)如果在区间上恒有

5、则证故(改进)且因且即性质5证因则故代数和性质6(估值定理)在区间上对任意如果恒有则证因则故例4求证证设则故在上单调递减所以从而故性质7(简单积分中值定理)在区间则至少存在如果使得上连续,一点证因在区间上连续故在上取到最大值最小值从而所以故至少存在一点使得:注(1)几何意义:当时,在上所围成的图形的面积等于以为底以为高的矩形的面积.(2)称为在上的平均值.(3)在某些理论证明中,使用该定理可将积分号去掉.即补充例题:(2003年考研真题8分)设某商品从时刻0到时刻的销售量为欲在时将数量为的商品销售完,试求:(1)时的商品剩余量,并确定(2)在时间段上的平均剩余量.解(1)的值;时的商品剩余

6、量由得(2)即补充例题:设在上连续,在二阶可导且有及内证明存在使得证性质7′(推广积分中值定理)在区间且如果使得上连续,存在一点与在上不变号,则至少补充定理如果函数在闭区间在闭区间上一定有最大值和最小值.上连续,使得存在一点则至少同理可证时,结论仍成立.